ЗАДАЧА 12.10. Метод Монте-Карло для реиорм-группы

а. Один из способов улучшения оценки R(p),  полной вероятности всех соединяющих кластеров, можно понять, записывая R(p) в виде

где N = б2. Биномиальный коэффициент представляет собой число возможных конфигураций п занятых ячеек и (N - п) пустых. Величина S(n) представляет собой вероятность того, что конфигурация с п занятыми ячейками протекает через клетку. Сравнение (12.15) и (12.25) показывает, что для 6 = 2 и вертикального протекания S(l) = 0, S(2) = 2/6, S(3) = 1 и S(4) = 1. Чему равны значения S(n) для 6=3?

Поскольку S(n)—вероятность, мы можем оценить ее простыми методами Моите-Карло. Простейший способ провести выборочное испытание S(n) заключается в добавлении частицы произвольным образом в незанятый узел и проверке, существует ли соединяющий путь. Если соединяющий путь существует после добавления s частиц, то S(n) = S(n) +1 для п — s и начинается новое испытание. После приемлемого числа испытаний значения S(n) можно нормировать. Конечно, эту процедуру можно сделать более эффективной, проверяя соединяющий кластер только после добавления полного числа частиц вблизи 5 ~ p*N и проверяя соединяющий кластер после добавления нескольких частиц.

Напишите программу выборочного испытания S(n) методом Монте-Карло. Запомните положения незанятых узлов в массиве. Для контроля вашей программы сначала произведите выборку S(n) для 6 = 2 и 6=3, сравните свои результаты с точными для S(n). Рассмотрите большие значения 6 и вычислите S(n) для значений 6 = 5, 8, 16 и 32. Для значений 6 = 16 функцию R(p) можно иайти, используя (12.25) и гауссову аппроксимацию

Поскольку Рд/р) имеет резкий пик для больших значений 6, необхо-

димо проводить выборку S(n) только вблизи п = p*N.

б.         Заметим, что в п. «а» варьировалось число частиц, а не веро-ятность занятия ячейки р. Эквивалентная процедура метода Монте-Карло заключается в варьировании р и производстве выборкиF(p)dp—вероятности появления первого соединяющего кластера вклетке размерами Ь х Ь в диапазоне от р до p + dp. Поскольку ре-норм-групповое преобразование определяет р' как полную вероят-ность соединения при значении р, величину р' можно интерпретиро-вать как интегральную функцию распределения, а значит, она свя-зана с F(p) соотношением

Выборка F(p) для конечной длины dp подразумевает, что интеграл в выражении (12.27) переходит в конечную сумму. Поскольку А = dR(p = p*)/dp, мы имеем А = f(p*). Простейший способ вычислить А заключается в том, чтобы положить А = Ftp    ), где р —

"max' rmax

значение р, при котором F(p) достигает максимума. Как соотносятся между собой величины р и р ? Вычислите р (Ь) и v(b) для значений Ь = 5, 8, 16 и 32. Как соотносятся эти результаты с теми, которые получены в п. «а»? В каком из методов ошибки оценок величин р и v меньше?

в.         Представляется возможным проэкстраполировать значения Рс(Ь) иv(b) при Ь—>оо. Воспользуйтесь асимптотическими соотношениями

и

для оценки экстраполированных значений V и р . Заметим, что необходимо рассмотреть клетки размером порядка Ь « 500 и провести более тонкое исследование v(b) и р'(Ь) для получения результатов, отвечающих точному значению v = 4/3 и наилучшей известной оценке р = 0.5927.

г с