ФРАКТАЛЫ, МОДЕЛИ КИНЕТИЧЕСКОГО РОСТА И КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ

Одним из наиболее интересных геометрических свойств объектов является их форма. В качестве примера иа рис. 13.1 показан перколяцион-ный кластер, полученный для значения, равного пороговому. Хотя описание соединяющего кластера, основанное иа зрительном восприятии, субъективно, о таких кластерах говорят как о разветвленных, воздушных, разреженных и волокнистых. В противоположность этому перколя-ционный кластер никак нельзя охарактеризовать как плотный или заполненный.

В последние годы Маидельбротом и другими авторами (см. список литературы) для описания таких разветвленных объектов была разработана новая фрактальная геометрия. В качестве количественной меры структурности этих объектов выступает фрактальная размерность d^. Для определения d^ вспомним сначала некоторые простые понятия обычной евклидовой геометрии. Рассмотрим круговой или сферический объект массой М и радиусом R. Объект может либо быть сплошным (однородная плотность), либо состоять из полостей, но в любом случае мы предположим, что его плотность ие зависит от размера (рис. 13.2). Следовательно, при увеличении радиуса объекта от R до 2R, его масса

2 3

увеличивается в R раз, если объект круговой, или в R раз, если он сферический. Эту связь массы и длины можно записать в виде

где d — размерность пространства. Объект, у которого масса и размер связаны соотношением (13.1), называется «компактным». Данное соотношение означает, что если линейный размер компактного объекта увеличивается в R раз при неизменной форме, то его масса увеличивается в раз. Это масштабное соотношение масса —размер тесно связано с интуитивным представлением о размерности, а также является полезным обобщением на размерности больше трех. Заметим, что если масса М н размер R удовлетворяют соотношению (13.1), то масштабное соотношение для плотности р = М/Rd имеет вид

Связь между массой объекта и его характерным размером R можно определить в более общем виде, чем в формуле (13.1). Одна из формулировок определения фрактальной размерности основана на соотношении

Мы называем объект «фрактальным», если он удовлетворяет соотношению (13.3) со значением d^ меньшим, чем пространственная размерность d. Заметим, что если для объекта выполняется соотношение (13.3), то его плотность не будет одинаковой для всех значений R, а масштабируется следующим образом:

Поскольку dj < d, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера. Данная масштабная зависимость плотности служит

количественной мерой представления о фракталах, как о разреженных или ветвистых объектах. Другой метод описания фрактального объекта основан на предположении, что он содержит пустоты всех размеров.

Перколяциониый кластер, показанный на рис. 13.1, является примером случайного, или статистического фрактала, поскольку для него соотношение масса —размер (13.1) выполняется только «в среднем», например при усреднении соотношения M(R) по многим кластерам и различным начальным точкам в кластере. Во всех реальных физических системах соотношение (13.3) выполняется ие для любых масштабов длины, а ограничивается верхним и нижним пределами. Например, нижний предел длины обусловливается тем или иным микроскопическим расстоянием, таким как период решетки или среднее расстояние между составными частями объекта. В численном моделировании верхний предел длины обычно определяется конечным размером системы. Наличие указанных пределов усложняет вычисление фрактальной размерности.

В задаче 13.1 вычисляется фрактальная размерность перколяционных кластеров с помощью простых методов Монте-Карло. Вычисление d^ методом ренорм-группы рассматривается в задаче 13.2. Учтите, что для получения убедительного доказательства существования степенной зависимости между М и R и для вычисления с приемлемой точностью значения показателя степени требуется повысить точность данных на несколько десятичных знаков. Таким образом, выводы, основанные на таком конечном моделировании, излагаемые в этих задачах, должны интерпретироваться очень осторожно.