ЗАДАЧА 13.3. Рост обособленного кластера и фрактальная размерность

а.         Воспользуйтесь программой single_cluster, в которой реализо-ван алгоритм роста обособленных кластеров на решетке размером(2L + 1) х (2L + 1). Рассмотрите «соединяющий» кластер, которыйявляется одним из тех, масса которых больше, чем заданная мини-мальная, или принадлежит множеству кластеров, соединяющих междусобой верхний и нижний ряды решетки. Можно ли «вырастить» соеди-няющий кластер для значения р = 0.4 или процесс роста обычно за-канчивается после занятия нескольких ячеек?

б.         Положите р = 0.5927 и L = 30, растите кластер до тех пор, по-ка не останется непроверенных ячеек, и постройте несколько кар-тинок соединяющих кластеров. Заметим, что некоторые ваши попыткизакончатся неудачей и вы не получите соединяющего кластера. Оп-ределите число занятых ячеек М(г) в радиусе г от затравочнойячейки. (Точнее говоря, расстояние г должно измеряться от центрамасс кластера.) Получите М для нескольких значений г и усреднитеМ(г) по крайней мере по десяти соединяющим кластерам. Оцените d^из графика зависимости М от г, построенного в двойном логарифми-ческом масштабе (рис. 13.4). Если позволит время, то сгенерируй-те перколяционные кластеры на решетках большего размера.

в.         Сгенерируйте кластеры для значения р = 0.65, которое несколь-ко превышает рс. Постройте график функции М(г) в двойном лога-рифмическом масштабе. Равен ли приблизительно наклон этого гра-фика значению d^ полученному в п. «б»? Увеличивается или умень-шается наклон графика с ростом г? Повторите расчет для значенияр = 0.80. Является ли соединяющий кластер фракталом при р > р ?

г.         Фрактальная размерность перколяциониых кластеров ие являетсянезависимым показателем, а удовлетворяет масштабному закону

(значения В и V были приведены в табл. 12.1). Соотношение (13.5) можно вывести, привлекая аппарат конечномерного масштабирования. Изложим кратко доказательство. Число ячеек в соединяющем кластере на решетке размером L определяется выражением

где Р(х)—вероятность того, что занятая ячейка принадлежит соединяющему кластеру, и величина Ld пропорциональна полному числу ячеек решетки. Нам известно, что в предельном случае бесконечной решетки и значений р в окрестности р величины Рт(р) ~ (р~ Р )^ и £(р) ~ (Р - Рс) независимо от значения L. Для L ~ £ можно воспользоваться конечномерным масштабированием и найти, что Pm(L) ~ L~ft° [см. (12.12)], так что в результате имеем

Отсюда следует соотношение (13.5). Используя точные значениями (3 и V из табл. 12.1 и найдите точное значение для d = 2. Согласуется ли ваша оценка d с этим значением?

"д. Оцените фрактальную размерность перколяциоииых кластеров на простой кубической решетке. (Положите рс = 0.3117.)

Фракталы применяются для описания нерегулярных форм в таких различных системах, как турбулентность, береговые линии, горные цепи и облака. Обсуждение фрактальной геометрии, содержащее множество прекрасных иллюстраций фракталов, полученных на компьютере, можно найти в книге Маидельброта (см. список литературы).