13.2.   РЕГУЛЯРНЫЕ ФРАКТАЛЫ И САМОПОДОБИЕ

Смысл выражения (13.3) состоит в том, что фрактальные объекты само-подобны, т.е. они выглядят одинаково в любом пространственном масштабе. Как будет выглядеть часть перколяционного кластера, изображенного на рис. 13.1, если смотреть иа него через лупу? Для уяснения сущности самоподобия рассмотрим пример регулярного фрактала, или объекта, который самоподобеи при всех масштабах длины. Начнем с

отрезка единичной длины (рис. 13.5, а). Предположим, что удаляется средний кусок этого отрезка длиной \ и заменяется на два отрезка длиной - каждый так, что на кривой появляется треугольный горб и общая длина кривой становится равной | (рис. 13.5,6). На следующем шаге каждый сегмент длиной ^ делится иа три части длиной ^ и процедура повторяется (рис. 13.5, в). Какова длина кривой, изображенной на рис. 13.5, в?

Представим себе, что показанные на рис. 13.5 три стадии построения могут быть повторены бесконечное число раз, и получается кривая бесконечной длины, состоящей из бесконечного числа бесконечно малых сегментов. Такая кривая называется треугольной кривой Коха. Ниже приводится программа на языке True Basic, в которой используется рекурсивная процедура рисования такой кривой.

Обратите внимание на то, что подпрограмма draw вызывает сама себя. С помощью программы Koch получите кривые, показанные на рис. 13.5.

Полезно обсудить фрактальную размерность на примере регулярных фракталов. Рассмотрим сначала отрезок единичной длины, который разбит иа N равных кусков длиной £, так что N - \/1 (рис. 13.6). По мере уменьшения I значение N растет линейно, что и следовало ожидать для одномерной кривой. Аналогично, если мы разделим квадрат единичной площади иа N равных квадратиков со стороной £, то получим N = \/ё —ожидаемый для двумерного объекта результат (рис. 13.6). Можно утверждать, что в общем случае N = 1/1*, где d—размерность объекта.    Следовательно,    логарифмируя   обе   части   этого равенства.

151

можно выразить размерность в виде

Теперь применим эти соображения к кривой Коха. Мы нашли, что при каждом уменьшении длины I нашей единицы измерения в три раза число сегментов увеличивается в четыре раза. Таким образом, имеем N = 4 и I = | и фрактальная размерность треугольной кривой Коха равна

Следовательно, о кривой Коха можно сказать, что она уже не одномерна, но еще и не двумерна. Соответствует ли это утверждение зрительному впечатлению о характере заполнения пространства треугольной кривой Коха?