ЗАДАЧА 13.5. Моделирование методом Монте-Карло кластеров Эдена

Модифицируйте программу single_cluster так, чтобы кластеры генерировались на квадратной решетке в соответствии с моделью Эдена. Простейшая модификация заключается в занятии ячеек периметра с вероятностью р = 1.0 до тех пор, пока кластер ие достигнет края решетки. Что произойдет, если мы продолжим занятие ячеек периметра до бесконечности? Воспользуйтесь процедурой из задачи 13.3 и вычислите число занятых ячеек М(г), находящихся в радиусе г от

df

начальной ячейки. Положите M(r) ~ г ' и оцените значение из наклона графика зависимости М от г, построенного в двойном лога-

рифмическом масштабе. Типичный график такой зависимости в двойном логарифмическом масштабе показан на рис. 13.9. Соответствующий наклон равен 1.92. Для исключения возможной кривизны при малых значениях г мы приводим результаты, полученные методом наименьших квадратов по тем же данным в области 12 £ г £ 30. Найдено, что наклон увеличивается примерно до значения 2.0. Чтобы прийти к выводу о том, что размерность кластеров Эдена равна размерности решетки, необходимо провести тщательный анализ данных, усредненных по многим испытаниям и по крайней мере по двум десяткам значений г. Можете ли вы утверждать, исходя из своих данных, что кластеры Эдена являются компактными?

Оккупирующая перколяцня. Динамический процесс, называемый оккупирующей перколяцией, применяется для моделирования структуры поверхности раздела масло —вода при нагнетании воды в пористые среды. В данном процессе кластер растет по пути наименьшего сопротивления. Рассмотрим решетку размером L х 2L, в которой вода («оккупант») в начальный   момент   времени   занимает  левый   край   (рис. 13.10). Сопротивлеиие оккупации задается случайными числами от 0 до 1, которые приписываются каждой ячейке решетки и ие меняются в течение всего процесса. Ячейки, граничащие с ячейками-оккупантами, составляют периметр. На каждом времеинбм шаге оккупант занимает ячейку периметра с наименьшим случайным числом и вытесняет масло («защитник»).

Процесс оккупирующего перколяциоиного роста реализован в программе invasion. Изначально в массиве r(i.j) записаны приписанные ячейкам случайные числа. Если ячейка с координатами (»,/) занята, то элемент r(i,j) увеличивается иа 1. Если ячейка ((',/) принадлежит периметру, то r(i,j) увеличивается иа 2. Для упорядочения ячеек периметра по величине приписанных им случайных чисел применяются два метода сортировки. Рост оккупирующего кластера продолжается до тех пор, пока не образуется путь, связывающий левый и правый края ре-

шетки. Для уменьшения граничных эффектов на верхней и нижней границах берутся периодические краевые условия, а все физические величины измеряются в центральной области размером L х L. Программа рисует занятые («мокрые») ячейки и вычисляет их относительное количество. Основной рассматриваемой величиной является P(r)dr — вероятность занятия ячейки, содержащей случайное число в интервале [г, г + dr]. Свойства модели оккупирующей перколяции изучаются в задаче 13.6.

Подпись:

Подпись:

Подпись: