ЗАДАЧА 13.6. Оккупирующая перколяция

а.         Воспользуйтесь програмой invision для генерирования оккупи-рующего кластера на квадратной решетке. Какие можно сделать ка-чественные утверждения о свойствах такого кластера? Разберитеобе подпрограммы сортировки, реализованные в программе. Какой изметодов оказывается более быстрым иа решетке размером 20 х 40?

б.         Модифицируйте программу invasion так, чтобы доля ячеек S.,занятых оккупантом в момент первого достижения правой границы,усреднялась по крайней мере по 20 испытаниям. Предполагая, чтоS. ~ L~a, оцените значение а из графика зависимости In S. отIn L. Как связана величина а с фрактальной размерностью соединя-ющего кластера? Сравните полученную оценку фрактальной размер-ности со случаем обычной перколяции. (Опубликованные для S. ре-зультаты Уилкиисоиа и Уилемсена получены для 2000 реализаций длякаждого значения L в интервале от 20 до 100.)

в.         Вычислите P(r)dr—вероятность того, что ячейка, содержащаяслучайное число в интервале [г, г + dr], занята. Достаточно рас-смотреть 20 интервалов случайных чисел, т.е. выбрать dr = 0.05.Постройте график функции Р(г) для L = 10, а также для большихзначений L вплоть до L = 50. В состоянии ли вы определить «кри-тическое значение» г, в окрестности которого Р(г) изменяетсяочень сильно? Как соотносится это критическое значение г со зна-чением рс для обычной перколяции иа квадратной решетке?

*г. Модель оккупирующей перколяции, которую мы обсудили, годится для описания вытеснения бесконечно сжимаемой жидкости несжимаемой жидкостью. Чтобы вытесняемую жидкость (масло) трактовать как несжимаемую, мы вводим механизм поглощения, состоящий в том, что как только масляный кластер становится изолированным, его больше нельзя оккупировать. К сожалению, это правило поглощения сильно замедляет моделирование, поскольку необходимо после каждого шага проверять, ие произошло ли поглощение. Учтите механизм поглощения и определите, меняются ли качественно величины а и Р(г).

Диффузия в неупорядоченных средах. Предположим, мы хотим изучить процесс диффузии атома в неупорядоченном твердом теле или проводимость случайной резисторной цепи, например проводимость металлической сетки со случайно удаленными узлами. Одна из простейших моделей таких явлений предложена де Женом и известна как «муравей в лабиринте». Рассмотрим пешехода (муравья), который движется случайным образом только по занятым ячейкам перколяционного кластера. На каждом временном шаге муравей подбрасывает монету с четырьмя возможными исходами (на квадратной решетке). Если результат соответствует переходу в занятую ячейку, то муравей переползает в нее, в противном случае он остается в своей ячейке. В обоих случаях время увеличивается на единицу. Предположим, что занятые ячейки перколяционного кластера встречаются с вероятностью р. В момент времени / = 0 мы помещаем муравья случайным образом в кластер и в момент времени t вычисляем квадрат расстояния между его начальным и конечным положениями. Затем повторяем моделирование много раз и получаем среднеквадратичное смещение муравья. Как зависит среднеквадратичное смещение муравья R от р и f? Как меняются законы диффузии на фрактальной решетке (перколяционный кластер при р = рс)? Эти вопросы рассматриваются в задаче 13.7.

На первый взгляд может показаться удивительным, что случайное блуждание муравья и проводимость случайной резисторной цепи —родственные задачи. Впервые связь между проводимостью и диффузией установил Эйнштейн. Рассмотрим систему частиц, например жидкость. Если следить за движением отдельных частиц в отсутствие внешней силы, то можно определить их среднеквадратичное смещение и, следовательно, коэффициент самодиффузии D. Далее, если приложить «малую» силу, то можно измерить среднюю скорость в направлении действия силы и найти подвижность /1—отношение средней скорости к приложенной силе. Эйнштейну удалось показать, что величины D и /1 пропорциональны (Рейф).

Что касается системы заряженных частиц, то можно обобщить приведенные выше рассуждения и показать, что подвижность пропорциональна электрической проводимости. Приложенной силе можно поставить в соответствие напряженность электрического поля и, значит, напряжение, а средней скорости—силу тока. Отсюда, подвижность пропорциональна проводимости (величина, обратная удельному сопротивлению) частиц. Так как подвижность пропорциональна также D, делаем вывод, что D и проводимость пропорциональны. Поэтому, с помощью этой связи можно определить зависимость проводимости перколяционного кластера от р.