ЗАДАЧА 13.7. Муравей в лабиринте

а. При  р = 1   муравей  диффундирует  на   решетке  без  дефектов и

R ~ г. Предположим, что R ~ D(p)t при р > рс. Сгенерируйте перколяционный кластер для значения р > рс, применяя алгоритм роста из задачи 13.3. Положите, что начальное положение муравья совпадает с затравочной ячейкой, и рассмотрите несколько случайных блужданий, вычисляя среднеквадратичное смещение муравья в этом кластере. Времена положите достаточно большими, чтобы R было приблизительно пропорционально t, но достаточно малыми, чтобы выполнялось условие R < L. Рассмотрите значения р = 0.8, 0.7, 0.65 и 0.62 для L = 60 и оцените D(p). Постройте график отношения D(p)/D(p = l) и обсудите его качественное поведение.

б.         При значениях р < р кластеры конечны, функция /?(/) ограниче-на и поэтому диффузия невозможна. Поскольку D(p) = 0 при р < рси D(p) * 0 при р > рс, мы предполагаем, что D(p) ~ (р - рс)г дляр в окрестности р . Повторите вычисления п. «а» для больших зна-чений L и большего интервала значений р и оцените динамическийпоказатель степени z. Так как проводимость пропорциональна D,показатель степени z показывает также, как убывает проводимостьвблизи рс- Выполненные Уотсоном и Лисом измерения проводимостипроволочной сетки дают оценку z ~ 1.38 ± 0.12. Согласуются ли сэтим ваши результаты?

в.         Можно ожидать, что при р = р   наблюдается другая зависимость

k ^

R(t), например R(t) ~ t при больших t. Как вы считаете, будет ли значение k больше или меньше 1/2? Рассчитайте методом Монте-Карло функцию R(t) при р = рс и оцените показатель степени k.

г.         Как говорилось в задаче 11.16, для рассмотрения случайногоблуждания на решетке лучше использовать комбинаторный метод, ане обычное моделирования методами Монте-Карло. Суть комбинатор-ного метода (полного перебора) состоит в том, что —веро-ятность того, что муравей находится в /й ячейке в момент време-ни t + 1, определяется исключительно вероятностями появления му-равья в соседних с i-й ячейках в момент времени t. Запомните по-ложение занятых ячеек в каком-нибудь массиве и введите два мас-сива для хранения WM(i) и W (i) для всех ячеек кластера. Вычи-сляйте Wf+j(0> используя вероятности W{(i) (рис. 13.11). Знаяфункцию распределения вероятностей для различных моментов време-ни, можно рассчитать пространственные средние, такие как средне-квадратичное смещение. Подробности этого метода и полученные ре-зультаты обсуждаются в статье Маджида и др. (1984). Эти исследо-

ватели рассматривали 5000-шаговые блуждания в кластерах из ~ 10 ячеек, и усредняли результаты по 1000 различных кластеров.

Агрегация с ограничением диффузии. Рост многих объектов, встречающихся в природе, происходит путем случайного присоединения частей. Примеры таких явлений: снежиые хлопья, зигзаги молнии и образование трещии вследствие геологического сдвига. Трудно себе представить, что все эти явления объединяет какое-то общее свойство. Однако в последние годы обнаружено множество фактов, указывающих на единство этих процессов. Одна из простейших моделей, помогающих глубже понять такие процессы, называется агрегацией с ограничением диффузии, или АОД. На примере этой модели можно увидеть, как случайное движение приводит к образованию красивых самоподобных кластеров. Первый шаг состоит в занятии ячейки с затравочной частицей. Затем из периметра большой окружности с центром в затравочной ячейке выпускается частица. Частица движется случайным образом (диффундирует) до тех пор, пока либо не уйдет за пределы окружности, либо не достигнет периметра затравочной ячейки и не стыкуется с ним. Затем выпускает ся другая частица и блуждает до тех пор, пока не достигнет перимет ра одной из частиц и не стыкуется с ним. Эта процедура повторяется много (обычно несколько тысяч) раз до тех пор,   пока не образуется

большой кластер. Типичный АОД-кластер показан на рис. 13.12. Напоминает ли вам этот кластер какой-нибудь природный объект? Некоторые свойства АОД-кластеров изучаются в задаче 13.8.