ЗАДАЧА 13.9. Образование узоров

а. Вам, вероятно, известен сложный и хаотичный характер картины электрического пробоя, наблюдаемого в атмосферной молнии. Хотя это явление, называемое пробоем диэлектрика, сложное, мы увидим, что простая, но нетривиальная модель порождает узоры электрического пробоя, похожие иа экспериментально наблюдаемые. Поскольку молния происходит в неоднородной среде из-за различий в плотности, влажности и проводимости воздуха, нам нужно построить модель электрического пробоя в неоднородном диэлектрике. Известно, что когда происходит электрический пробой,   потенциал ф удовлетворяет

о

уравнению Лапласа V ф = 0. Эту модель (Фемилн и др., Нимейер н др.) можно задать следующими правилами (на квадратной решетке):

Рассмотрим большую окружность радиусом R и поместим в ее центр источник заряда. Положим потенциал в центре ф = 0 и на окружности ф = 1 (рис. 13.13). Радиус R необходимо выбрать большим, чем размеры растущего узора.

Каждому узлу, лежащему внутри окружности, припишем случайное число г (0 — г — 1). Случайное число г. представляет коэффициент пробоя и случайную структуру диэлектрика.

Hi. Используя метод релаксации (гл. 9), вычисляем значения потенциала ф. в узлах, которые расположены внутри окружности.

Выбираем в качестве периметра ближайшие к узору разряда узлы (черные кружки на рис. 13.13). Обозначим через и. градиент потенциала в i-м узле и составим произведения гиа для каждого узла периметра, где а—регулируемый параметр.

Узел периметра imax, в котором произведение гиа максимально, пробивается, т.е. полагается ф.     = 0.

Используя метод релаксации, пересчитываем потенциала в оставшихся «незанятыми» узлах и повторяем шаги (v) и (vi).

Положите а = | и проанализируйте структуру узора разряда. Похож ли этот узор на молнию? Имеет ли узор фрактальную структуру? Вычислите фрактальную размерность, подсчитывая М(Ь) —среднее число узлов в квадрате размером bx Ь, принадлежащих узору разряда. Рассмотрите другие значения параметра а, например а = 1 н а = |, и покажите, что узоры обладают фрактальной структурой с подстраивающейся фрактальной размерностью. В опубликованных результатах (Фемнли и др.) для формирования узоров делалось 800 шагов роста. Как вы думаете, зависит ли структура узоров от стручтуры решетки? Какого типа узоры образуются в трехмерном случае?

б. Рассмотрим модель детерминированного роста, в которой не нужно приписывать каждому узлу случайное число. В этой модели все узлы периметра на каждом шаге роста проверяются на занятость. Рассматриваем те же краевые условия и геометрию, что и в п. «а», и решаем методом релаксации уравнение Лапласа для ф. Затем находим узел периметра с наибольшим значением градиента потенциала и и полагаем это значение равным Р • Далее проверяются все узлы периметра и только те, для которых отношение «/Pmax больше, чем значение параметра р, зачерняются. После каждого шага роста определяются новые узлы периметра и с помощью метода релаксации пересчнтываются значения ф в каждом незанятом узле. Положите р = 0.35 и определите структуру узора регулярного фрактала. Чему равна фрактальная размерность? Рассмотрите другие значения р и определите соответствующую фрактальную размерность. Данные узоры называют фрактальными коврами Лапласа (Фемили и др.).