ЗАДАЧА 13.12. Примеры моделей двумерных клеточных автоматов

а. Рассмотрим простой булев автомат, каждая клетка которого может быть в состояниях 1 («включено») и 0 («выключено»). Примем «правило голосования», согласно которому состояние клетки в момент времени t + 1 определяется голосами ее четырех (на квадратной решетке) ближайших соседей в момент времени t (см. работу Внчняка). Правило состоит в том, что клетка «включается», если включены 2, 3 или 4 ее соседа. Рассмотрите начальные конфигурации, для которых клетка в состоянии 1 появляется с вероятностью р, а клетка в состоянии 0 с вероятностью 1 - р. Поскольку правило голосования способствует росту клеток в состоянии 1, интересно начать с конфигурации, в которой таких клеток меньшинство. Положите р = 0.1. Что произойдет с изолированными клетками в состоянии 1? Как они растут на первом этапе? Для какой формы (выпуклой нли вогнутой) рост кластера нз клеток в состоянии 1 прекращается? Что произойдет с кластерами нз клеток в состоянии 1, такими, как показано на рнс. 13.16? (Если необходимо, создайте такую конфигурацию.) Покажите,  что для значения р = 0.1 снс-

тема в конце концов заморажнватся в виде узора, состоящего из прямоугольных островов клеток в состоянии 1, окруженных морем клеток в состоянии 0. Что произойдет прн р = 0.14? Можете ли вы определить «критическую плотность» р , прн которой поведение системы изменяется. Рассмотрите решетки с L = 128 н L = 256.

б.         Рассмотрите клеточный автомат, у которого значение централь-ной ячейки на следующем временном шаге определяется суммой еевосьми соседей н ее самой (см. работу Внчняка). В частности, по-ложите, что центральная клетка находится в состоянии 1 на следу-ющем шаге по времени, если эта сумма равна или больше 4. Заме-тим, что это правило стнмулнрует рост клеток в состоянии 1. Дан-ное правило приводит к явлению, похожему на обнаруженное вп. «а». Рассмотрите начальную конфигурацию, в которой клетки всостоянии 1 появляются с вероятностью р, а клетки в состоянииО — с вероятностью 1 - р. Выберите решетку размером 128 х 128 ипокажите, что для р = 0.2 система в конце концов замораживается.Какой формы получаются кластеры из клеток в состоянии 1? Покажи-те, что если на поверхности наибольшего кластера нз клеток всостоянии 1 перевести одну клетку из состояния 0 в состояние 1,то этот кластер будет растн. Каково конечное состояние системы?Как ведет себя система прн р = 0.3? Можно ли определить «крити-ческую плотность» р такую, что для р - р рост кластеров нзклеток в состоянии 1 продолжается до тех пор, пока вся решеткане перейдет в состояние 1?. Рассмотрите решетки большего размераи покажите, что значение рс нечувствительно к размеру решетки.Чему равно вычисленное вами значение р в пределе бесконечнойрешетки?

в.         Существует одна проблема, заключающаяся в том, что выводы,которые вы сделали в пп. «а» и «б», являются неточными. ЗначениеРс равно нулю в пределе бесконечной решетки, и результаты, полу-ченные для конечных решеток, сбивают с толку. Вероятность любойконфигурации, состоящей из клеток в состоянии 1, на бесконечнойрешетке равна единице. Следовательно, где-ннбудь на решетке обя-зательно встретится «критический кластер», который будет растибесконечно до тех пор, пока вся решетка не перейдет в состояние1. Мораль этой истории заключаетя в том, что «нельзя доверятьмоделированию без знания теории» (изложение высказывания, обычноприписываемого Эддннгтону).