ЗАДАЧА 10.3. Формулы трапеций и Симпсона

а. Каким образом можно модифицировать подпрограмму Simpson для одновременного получения оценок интеграла от функции f(x) по формулам трапеций и Симпсона?

б.         Используя оба метода, оцените численно интегралы от функцийf(x) - 2х + Зх2 + 4х3 и f(x) = е'х на отрезке 0 s х < 1. Какприблизительно зависит погрешность от п в каждом случае? Какойметод приводит к лучшим результатам при одинаковом времени вы-числений?

в.         Используя   формулу   Симпсона,   оцените   значение   интеграла от

2

функции f(x) = (2тг)~1/2е~ж иа отрезках -1 s х < 1, -2 s j 5 2 и -3 £ х s 3.

г.         Используя оба метода, оцените определенный интеграл от фуик-ции f(x) = (1 + х ) на отрезках 0 i х £ 1 и 0 ^ х £ 2. Какойметод приводит к лучшим результатам? Помните о том, что методболее высокого порядка не всегда дает более высокую точность.

д.         Нами уже описана процедура оценки одномерных определенных ин-тегралов, т.е. для выбранной классической формулы интегрированиявычисляются Fn и F2n для приемлемого значения п. Если разность|r?2r|-Fn| слишком велика, то удваиваем п до тех пор, пока иебудет достигнута требуемая точность. Сходится ли последователь-ность F , F2n, ... к истинному значению интеграла F, и если да,то существует ли какой-нибудь способ экстраполяции к пределу?Рассмотрим эту идею на примере формулы трапеций. Поскольку мынашли, что погрешность этого приближения убывает приблизительно

—2 —2

как п , то мы вправе записать F = F + Сп . Постройте график оценки Fn в зависимости от и-2 и получите экстраполированное значение F. Какие предположения необходимо сделать для того, чтобы процедура экстраполяции была успешной? Примените описанный метод к интегралам, рассмотренным в предыдущих задачах, и сравните полученные результаты с тем, что дают один метод трапеций и метод Симпсона. Более изящно описанная идея воплощена в методе Ромберга (см. книгу Пресс и др.).