§ 98. Резонанс токов

Рассмотрим цепь, образованную включенными па­раллельно индуктивностью и емкостью (рис. 213). Предположим, что активное сопротивление обеих вет­вей настолько мало, что им можно пренебречь. В этом слу­чае согласно формулам (97.4) и (97.5)

Из выражений (98.1) следует, что токи i'i и £2 нахо­дятся в противофазе (ток в индуктивности отстает от U на я/2, ток в емкости опережает U на^я/2). Ток в подво­дящих проводах i равен сумме токов ц и i2:

При условии, что

 

ток i в подводящих проводах будет отсутствовать, хотя токи i'i и t2 в отдельных цепях могут быть очень велики. Это явление называется резонансом токов. Для резонансной частоты из условия (98.2) получается такое же значение, как и при резонансе напряжений [см. формулу (95.7)].

При резонансе токи ц и i2 одинаковы по амплитуде и, как уже отмечалось, противоположны по фазе. Сле­довательно, в контуре, образованном индуктивностью и емкостью, циркулирует ток, непрерывно перезаряжая обкладки конденсатора.

Соотношение между токами ii и t2 можно изобра­зить наглядно с помощью векторной диаграммы^ На диаграмме напряжений (см. рис. 204, б) векторы U от­кладывались относительно оси токов. При построении диаграммы токов векторы / нужно откладывать отно­сительно оси напряжений. Выберем в качестве этой оси

ось х (рис. 214). Ток в индуктивности отстает от напря­жения на я/2 и потому изображается вектором, повер­нутым относительно оси напряжений по часовой стрел­ке на угол я/2. Ток в емкости опережает напряжение на я/2, соответственно он повернут относительно оси на­пряжений против часовой стрелки на угол я/2. При ре­зонансе длины векторов обоих токов одинаковы, резуль­тирующий ток равен нулю.

Практически индуктивность (например, катушка) всегда обладает некоторым активным сопротивлением R') (на рис. 215 это сопротивление и сама индуктив­ность изображены раздельно). Следовательно, отстава­ние тока от напряжения будет меньше я/2 — оно опре­деляется формулой

 

В этом случае векторы м и t2 не коллинеарны и сум­ма их не может быть равной нулю (рис. 216,а). Комп« лексные сопротивления обеих ветвей равны (см. рис. 215)

Сопротивление всей цепи будем вычислять по форму-' ле (97.12)

 

откуда

Умножив числитель и знаменатель на величину, комплексно сопряженную знаменателю, получим

Модуль Z даст полное сопротивление параллельной цепи, а отношение реактивной и активной составляю­щих Z — тангенс угла ф, определяющего сдвиг фаз меж* ду напряжением и током.

Можно показать, что максимум полного сопротив­ления Z (т. е. резонанс токов) достигается при условии, что реактивная составляющая Z обращается в нуль и,

еледрвательно, полное сопротивление становится чисто активным (рис. 216,6). Резонансную частоту можно найти, приравняв нулю мнимую часть выражения (98.3)

При Р = 0 эта формула переходит в (95.7).

Итак, резонанс токов характерен тем, что полное сопротивление цепи оказывается чисто активным и имеет наибольшую, возможную при данных парамет­рах цепи величину (в случае резонанса напряжений Z имеет наименьшую величину). При этом токи i'i и i2 значительно превышают текущий через источник ток L Развиваемая источником мощность выделяется в ак­тивном сопротивлении цепи Р.

Для тока частоты (98.4) контур с малым Р имеет очень большое сопротивление, тем большее, чем меньше Р (при Р-*0 сопротивление контура Z стремится к бесконечности).