§ 100. Свободные затухающие колебания

Всякий реальный контур обладает активным сопро­тивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают, Урав-

нение колебаний можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения на емкости, индуктивности и активном сопротивлении должна быть равна нулю:

Разделив это выражение на L и заменив i через q, а

dl

через q, получим

Учтя, что -jjq равно квадрату собственной частоты контура ©о {см. формулу (99.2)], и введя обозначение

уравнению (100.1) можно придать вид

Последнее уравнение совпадает с дифференциаль­ным уравнением затухающих механических колебаний {см. т. I, формулу (73.2)]. При условии, что 62<й>о, т. е.

решение уравнения (100.3) имеет вид

гдеПодставляя значение (99.2) для щ

и (100.2) для В, находим, что

Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты wo. При Р = 0 выражение (100.5) переходит в. (99.2).

Разделив (100.4) на емкость С, получим напряже­ние на конденсаторе:

Чтобы найти силу тока, продифференцируем (100.4) по времени:

Умножим и разделим это выражение на ]Л°2 + В2 ^ = Ую2 =<вь:

Введя угол г]), определяемый условиями

можно написать

Поскольку cos4|)<0, a sin-ф>0, ~-<^<я. Таким

образом, при наличии в контуре активного сопротив­ления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на я/2 (при R = 0 опережение составля­ет я/2).

График функции (100.4) изображен на рис. 218. Гра­фики для напряжения и си­лы тока имеют аналогичный вид.

Затухание колебаний принято характеризовать ло­гарифмическим декрементом затухания [см. т. I, фор­мулу (73.12)]

где a(t)—амплитуда соответствующей величины (q, U или i). Легко проверить, что логарифмический декре­мент затухания обратен по величине числу колебаний Ne, совершаемых за время, в течение которого амплиту­да уменьшается в е раз:

Колебательный контур часто характеризуют его до­бротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декре­менту затухания

 

Из (100.8) следует, что добротность контура тем вы­ше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз. Взяв вме­сто % его значение рГ, получим

Если затухание невелико (В2<^со2), можно поло­житьТогда

[согласно (100.2) 2р = R/L]. Таким образом, в случае не­сильного затухания

 

Амплитуда силы тока в контуре убывает по закону ег$*. Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональ­на квадрату амплитуды силы тока (или квадрату амп­литуды напряжения на конденсаторе); следовательно, W убывает по закону е_2Р'. Относительное уменьшение энергии за период равно

При незначительном затухании (т. е. при условии, что ?С <tC 1) е_2Л можно приближенно заменить через 1 — 21:

 

Заменив в этом выражении К через добротность контура Q в соответствии с формулой (100.8) и решив полученное уравнение относительно Q, получим

Итак, при слабом затухании добротность контура оказывается пропорциональной отношению энергии, за­пасенной в контуре, к убыли этой энергий за один пе­риод колебания.

В заключение отметим, что при В2^(о0, т. е. •jjT^

^ ~ПГ' вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при кото­ром колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критическо­го сопротивления RK определяется условием откуда