§ 101. Вынужденные электрические колебания

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно ока­зывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную э. д. с. или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты перемен­ное напряжение U. Последний случай рассмотрен под­робно в предыдущей главе1) (см. рис. 204, я). Однако для того, чтобы провести до конца аналогию между электрическими и механическими колебаниями, мы рас­смотрим вынужденные электрические колебания еще раз, придав уравнениям несколько иной вид.

Приравняем сумму падений напряжения на элемен­тах контура приложенному напряжению

Перейдя от тока i к заряду q и использовав обозна­чения (99.2) и (100.2), получим уравнение

которое совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний {см. т. I, форму­лу (75.2)]. Частное решение этого уравнения имеет вид

[см. т. I, формулы (75.7) и (75.8)].

Подстановка в эти выражения  значений   (99.2) и

(100.2) для ©о и В дает

Общее решение получится, если к частному решению (101.1) прибавить общее решение соответствующего однородного уравнения. Это решение было получено в предыдущем параграфе [см. формулу (100.4)], оно со­держит экспоненциальный множитель е_Р', поэтому по прошествии с начала колебаний достаточного времени становится очень малым и им можно пренебречь. Сле­довательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (101.1). Заметим, что в преды­дущей главе рассматривались лишь установившиеся токи и напряжения.

Разделив заряд q на емкость С, получим напряже­ние на конденсаторе

Продифференцировав функцию (101.1) по t, найдем установившийся ток в контуре

Амплитуда тока имеет значение

совпадающее с выражением (95.2).

Введя в (101.5) обозначение ф = я|з — л/2, мы при­дем к выражению для i, совпадающему с формулой

(95.3). В соответствии с (101.3)

Таким образом, мы снова при­шли к формуле (95.1).

Резонансная частота для Заряда q и напряжения на конденсаторе Uc равна [см. т. I, формулу (75.11)]

Резонансные кривые для Uc изображены на рис. 219 (резонансные кривые для q имеют точно такой вид). Они сходны с резонансными кривыми, получающимися для механических колебаний (см. т. I, рис. 189). При <о-*0 резонансные кривые стремятся к t/Cm=L'm — напряжению, возникающему на конденсаторе при под­ключении его к источнику постоянного напряжения ве­личины Um. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше В = P./2L, т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность кон­тура.

Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 220. Они соответствуют резонансным кривым для

скорости при механических колебаниях. Амплитуда си­лы тока (101.6) имеет максимальное значение при «L—1/шС = 0. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой конту­ра (Оо- Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси /т, равен нулю — при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

При малом затухании (В2 -С са2) резонансную частоту (101.7) для напряжения можно положить равной щ:

Согласно формуле (101.4) отношение амплитуды на­пряжения на конденсаторе при резонансе Ucmves к амп­литуде внешнего напряжения 0т будет в этом случае равно

 

где Q — добротность контура [см. формулу (100.9)].

Добротность контура характеризует также остроту резонансных кривых. Чтобы убедиться в этом, вычис­лим так называемую ширину резонансной кривой для силы тока по половине мощности. Под этой величиной

подразумевают разность частот Аю, для которых 1т со­ставляет 0,5 от резонансного значения (1т« 0,71трез; рис. 221).

Согласно формуле (101.6) квадрат амплитуды силы тока равен

 

При резонансе 1т равноКвадрат ампли-

туды /т составит 0,5 /трезпри частотах, удовлетворяю­щих условию

 

Раскрыв скобки, придем после несложных преобра­зований к следующему уравнению:

В   соответствии   с формулой (100.9) ■jg = to2,. Поэтому можно написать

Решим это уравнение относительно со2/(йо:

При больших добротностях величинами, содержа­щими Q2 в знаменателе, можно пренебречь по срав­нению с 1. Тогда получится

Таким образом, искомые значения частоты равны

Взяв разность сог — ©ь найдем ширину кривой A to. Относительная ширина кривой -—■ оказывается обрат­ной добротности контура Q:

Напомним, что эта формула верна лишь при боль­ших Q, т. е. в случае, когда затухание свободных коле­баний в контуре мало.

Мы рассмотрели вынужденные колебания, возни­кающие при включении внешнего напряжения последо­вательно с элементами колебательного контура (см, рис. 204, а). Очевидно, что вынужденные колебания можно, также осуществить, подключив источник на­пряжения параллельно колебательному контуру (см. рис. 215). Резонансная частота в этом случае опреде­ляется формулой (98.4).

Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

Настроив контур на одну из частот <ли щ и т. д. (т. е. подобрав соответствующим образом его парамет­ры С и L), можно получить на конденсаторе напряже­ние, в Q раз превышающее величину данной состав­ляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при на­стройке радиоприемника на нужную длину волны.