§ 101. Вынужденные электрические колебания
Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную э. д. с. или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение U. Последний случай рассмотрен подробно в предыдущей главе1) (см. рис. 204, я). Однако для того, чтобы провести до конца аналогию между электрическими и механическими колебаниями, мы рассмотрим вынужденные электрические колебания еще раз, придав уравнениям несколько иной вид.
Приравняем сумму падений напряжения на элементах контура приложенному напряжению
Перейдя от тока i к заряду q и использовав
обозначения (99.2) и (100.2), получим уравнение
которое совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний {см. т. I, формулу (75.2)]. Частное решение этого уравнения имеет вид
[см. т. I, формулы (75.7) и (75.8)].
Подстановка в эти выражения значений (99.2) и
(100.2) для ©о и В дает
Общее решение получится, если к частному решению (101.1) прибавить общее решение соответствующего однородного уравнения. Это решение было получено в предыдущем параграфе [см. формулу (100.4)], оно содержит экспоненциальный множитель е_Р', поэтому по прошествии с начала колебаний достаточного времени становится очень малым и им можно пренебречь. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (101.1). Заметим, что в предыдущей главе рассматривались лишь установившиеся токи и напряжения.
Разделив заряд q на емкость С, получим напряжение
на конденсаторе
Продифференцировав функцию (101.1) по t, найдем установившийся ток в контуре
Амплитуда тока имеет значение
совпадающее с выражением (95.2).
Введя в (101.5) обозначение ф = я|з — л/2, мы придем к выражению для i, совпадающему с формулой
(95.3). В соответствии с (101.3)
Таким образом, мы снова пришли к формуле (95.1).
Резонансная частота для Заряда q и напряжения
на конденсаторе Uc равна [см. т.
I, формулу (75.11)]
Резонансные кривые для Uc изображены на рис. 219 (резонансные кривые для q имеют точно такой вид). Они сходны с резонансными кривыми, получающимися для механических колебаний (см. т. I, рис. 189). При <о-*0 резонансные кривые стремятся к t/Cm=L'm — напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения величины Um. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше В = P./2L, т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура.
Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 220. Они соответствуют резонансным кривым для
скорости при механических колебаниях. Амплитуда силы тока (101.6) имеет максимальное значение при «L—1/шС = 0. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура (Оо- Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси /т, равен нулю — при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.
При малом затухании (В2 -С са2) резонансную частоту (101.7) для напряжения можно положить равной щ:
Согласно формуле (101.4) отношение амплитуды
напряжения на конденсаторе при резонансе Ucmves к амплитуде внешнего
напряжения 0т будет в этом случае равно
где Q — добротность контура [см. формулу (100.9)].
Добротность контура характеризует также остроту резонансных кривых. Чтобы убедиться в этом, вычислим так называемую ширину резонансной кривой для силы тока по половине мощности. Под этой величиной
подразумевают разность частот Аю, для которых 1т составляет 0,5 от резонансного значения (1т« 0,71трез; рис. 221).
Согласно формуле (101.6) квадрат амплитуды
силы тока равен
При резонансе 1т равноКвадрат
ампли-
туды /т составит 0,5 /трезпри частотах,
удовлетворяющих условию
Раскрыв скобки, придем после несложных преобразований к следующему уравнению:
В соответствии с формулой (100.9)
■jg = to2,. Поэтому можно написать
Решим это уравнение относительно со2/(йо:
При больших добротностях величинами, содержащими
Q2 в знаменателе, можно пренебречь по сравнению с 1. Тогда получится
Таким образом, искомые значения частоты равны
Взяв разность сог — ©ь найдем ширину кривой A to. Относительная ширина кривой -—■ оказывается обратной добротности контура Q:
Напомним, что эта формула верна лишь при больших Q, т. е. в случае, когда затухание свободных колебаний в контуре мало.
Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при включении внешнего напряжения последовательно с элементами колебательного контура (см, рис. 204, а). Очевидно, что вынужденные колебания можно, также осуществить, подключив источник напряжения параллельно колебательному контуру (см. рис. 215). Резонансная частота в этом случае определяется формулой (98.4).
Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно
Настроив контур на одну из частот <ли щ и т. д. (т. е. подобрав соответствующим образом его параметры С и L), можно получить на конденсаторе напряжение, в Q раз превышающее величину данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.