§ 6. Суперпозиция полей. Поле диполя

Опыт показывает, что сила, с которой система заря­дов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдель­ности. Отсюда вытекает, что напряженность поля си­стемы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

Последнее утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей.

Принцип суперпозиции позволяет вычислить напря­женность поля любой системы зарядов. Разбивая про­тяженные заряды на достаточно малые доли dq, любую систему зарядов можно свести к совокупности точечных зарядов. Вклад каждого из таких зарядов в результи­рующее поле вычисляется по формуле (5.3).

Воспользуемся принципом суперпозиции для нахож­дения напряженности поля электрического диполя.

Электрическим диполем называется систе­ма двух одинаковых по величине разноименных точеч­ных зарядов: +q и —q, расстояние между которыми /

значительно меньше, чем расстояние до тех точек, в ко­торых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Найдем на­пряженность поля на оси диполя, а также на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярной к

его оси (рис. 4). Положение точек на этих прямых бу-дем характеризовать их расстоянием г от центра ди­поля. Напомним, что в соответствии с определением диполя должно выполняться условие: г 3> /.

Поле в каждой точке будет представлять собой су­перпозицию полей Е+ и Е_, создаваемых точечными за­рядами + q и —q. На оси диполя векторы Е+ и Е_ имеют противоположные направления. Поэтому резуль­тирующая напряженность Ер будет равна по модулю разности модулей векторов Е+ и Е_:

Пренебрегая в знаменателе 1/2 по сравнению с г, получаем

где через р обозначено произведение ql, называемое электрическим моментом диполя.

Для точек на прямой, перпендикулярной к оси, Е+ и Б_ имеют одинаковые модули, равные

Из подобия равнобедренных треугольников, опираю­щихся на отрезок / и на вектор Ех (рис. 4), следует, что

 

Заменив в этом соотношении Е+ его значением (6.3), получим

 

Можно показать, что напряженность поля диполя в произвольной точке определяется формулой

где а — угол между осью диполя и направлением на данную точку (рис. 5). Подстановка в (6.5) а = 0 (или я)

и а       приводит к формулам (6.2) и (6.4).

 

В гауссовой системе в формулах (6.2), (6.4) и (6.5) отсут-ствует множитель —        .

4яе0

Характерным для напряженности поля диполя яв­ляется то, что она определяется не величиной образую­щих диполь зарядов, а моментом диполя р =■ ql. С рас-

стоянием от диполя напряженность убывает как 1/г3, т. е. быстрее, чем напряженность поля точечного заряда (убывающая как 1/г2). Напряженность показанной на рис. 6,а системы зарядов, называемой квадрулолем, убывает с расстоянием еще быстрее — как 1/г4. Напря­женность октуполя (рис. 6,6) убывает как 1/г5. Об­щим для диполя, квадруполя и октупо­ля является то, что алгебраическая сум­ма образующих их зарядов равна нулю.

Отметим, что помимо q и / для пол­ного определения диполя необходимо задать еще и ориентацию оси диполя в пространстве. В соответствии с этим момент диполя следует рассматривать как вектор р. Этому вектору при­писывается направление от отрицательного заряда к по­ложительному (рис. 7). Если ввести радиус-вектор I, проведенный от —q к +q, то момент диполя можно представить в виде