§ 108. Уравнения Максвелла

Открытие тока смещения позволило Максвеллу соз­дать единую теорию электрических и магнитных явле­ний. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых яв­лений, существование которых подтвердилось впослед­ствии. Основным следствием теории Максвелла был вы* вод о существовании электромагнитных волн, распро* страняющихся со скоростью света. . Теоретическое исследование свойств этих волн привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света.

Основу теории образуют уравнения Максвелла. В уче­нии об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.

Первую пару уравнений Максвелла образуют урав­нения (103.6) и (44.1). Для удобства изложения напишем их еще раз

 

 

Первое из этих уравнений связывает значения Е с временными изменениями вектора В и является по су­ществу выражением закона электромагнитной индукции.

Второе уравнение отражает то свойство вектора В, что его линии замкнуты (или уходят в бесконечность).

Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравне­ния (105.4) и (16.6):

(под j здесь и в дальнейшем понимается плотность тока проводимости).

Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнит­ным полем. Второе показывает, что линии вектора D мо­гут начинаться и оканчиваться на зарядах.

Уравнения (108.1) — (108.4) представляют собой урав­нения Максвелла в интегральной форме. Они связывают значения Е или Н вдоль некоторого контура со значения­ми В (соответственно Ь) в точках опирающейся на кон­тур поверхности. От уравнений в интегральной форме можно с помощью теорем векторного анализа перейти к уравнениям в дифференциальной форме, которые связы­вают значения Е или Н в некоторой точке с В (соответ­ственно D) в той же самой точке пространства.

Применим теорему Стокса [см. (107.14)] к левой части формулы (108.1), взяв в качестве поверхности, по кото­рой производится интегрирование функции (rot Е) „, ту же поверхность, по которой берется интеграл в правой части. Тогда уравнение (108.1) примет вид

Оба интеграла берутся по одной и той же поверх­ности. Поэтому полученное равенство можно написать следующим образом:

Это равенство должно выполняться для произвольно выбранной поверхности интегрирования S, что, очевидно,

возможно лишь в том случае, если подынтегральное вы­ражение в любой точке пространства для произвольно ориентированной площадки dS будет равно нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что в каждой точке пространства выполняется равенство

Применив теорему Стокса к формуле (108.3) и повто­рив те же самые рассуждения, найдем, что

Теперь применим теорему Остроградского — Гаусса [см. (107.5)] к левой части формулы (108.4). В резуль­тате получим уравнение

При произвольном выборе объема, по которому про­изводится интегрирование, полученное соотношение мо­жет выполняться лишь при условии, что подынтеграль­ные выражения в обеих частях имеют в каждой точке пространства одинаковые значения, т. е.

Применение теоремы Остроградского — Гаусса к фор­муле (108.2) дает

 

Итак, в дифференциальной форме уравнения Макс­велла выглядят следующим образом:

(первая пара уравнений),  (вторая пара уравнений).

При решении этих уравнений используется то обстоя­тельство, что между входящими в них величинами имеются соотношения

 

Совокупность семи уравнений (108.5) —(108.11) об­разует основу электродинамики покоящихся сред.

Спроектировав уравнения (108.5) и (108.7) на коор­динатные оси, получим вместо каждого из векторных уравнений три скалярных. Приняв во внимание формулы (107.10) —(107.12), получим

Уравнения (108.6) и (108.8) можно написать в ска­лярном виде, использовав соотношение (107.4)

В гауссовой системе уравнения Максвелла имеют вид