§ 109. Волновое уравнение

 

В предыдущей главе мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое, во­обще говоря, тоже оказывается переменным1). Это пе­ременное магнитное поле порождает электрическое поле и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью заря­дов переменное электрическое или магнитное поле, в окружающем пространстве возникнет последователь­ность взаимных превращений электрического и магнит­ного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в простран­стве и, следовательно, представляет собой волну. Вывод о возможности существования электромагнитных волн вытекает, как мы сейчас покажем, из уравнений Макс­велла.

Напишем уравнения Максвелла для однородной ней­тральной (р = 0) непроводящей (j = 0) среды с постоян* ными проницаемостями е и р. В этом случае

Следовательно, уравнения (108.5) —(108.8) имеют вид

Применим к уравнению (109.1) операцию rot

Символ rot означает дифференцирование по коорди­натам. Меняя порядок дифференцирования по координа­там и времени, можно написать rot (-^jp) = -gf (rot H).

Произведя в уравнении (109.5) эту замену и подставив в получившееся выражение значение (109.3) для rot Н, получим

 

Применив операцию rot к уравнению (109.3) и произ­ведя аналогичные преобразования, придем к уравнению

В соответствии с (107.22) rot rot Е = grad div Е — ДЕ. При условии, выражаемом уравнением (109.4), первый член этого равенства обращается в нуль. Следовательно, левая часть формулы (109.6) может быть записана в виде —ДЕ. Опустив в получающейся формуле знак ми­нус слева и справа, придем к уравнению

или, расписав ДЕ,

Сходным образом уравнение (109.7) можно преобра-зовать к виду

 

Заметим, что уравнения (109.8) и (109.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравне­ний (109.1) и (109.3), каждое из которых содержит и Е и Н.

Уравнение вида

 

представляет собой волновое уравнение [см. т. I, § 80)]. Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный

из величины, обратной коэффициенту при         дает фа-

зовую скорость этой волны. Таким образом, уравнения (109.8) и (109.9) указывают на то, что электромагнит­ные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

 

Для вакуума по этой формуле получается

 

[см. значения (4.2) и (38.3) для ео и ц.0]-

Таким образом, в вакууме фазовая скорость электро* магнитных волн совпадает со скоростью света.

В гауссовой системе