§ 8. Теорема Гаусса

В предыдущем параграфе было показано [см. фор­мулу (7.1)], что окружающую точечный заряд q сфери­ческую поверхность любого радиуса г пересекает q/во линий Е1). Отсюда вытекает, что из-точечного заряда выходит (либо к нему сходится) q/го линий (в гауссовой системе это число равно inq).

В соответствии с формулой (7.3) поток вектора Е через некоторую поверхность численно равен количе­ству линий Е, пересекающих эту поверхность. Следова­тельно, поток вектора Е через охватывающую заряд

сферическую поверхность равен gle^1). Знак потока совпадает со знаком заряда. Покажем, что и для по­верхности любой другой формы, если она замкнута и заключает внутри себя точечный заряд q, поток вектора Е также будет равен д/го- Для поверхности, не имею­щей «морщин» (рис. 11,а), это утверждение является очевидным. Действительно, такая поверхность, как и по­верхность сферы, пересекается каждой линией Е только

 

один раз. Поэтому число пересечений равно количеству линий, выходящих из заряда, т. е. <7/ео.

При вычислении потока через поверхность с «мор­щинами» (см. рис. 11,6, на котором показана только одна из q/eo линий Е) нужно учесть, что число пересе­чений данной линии Е с поверхностью может быть в рассматриваемом случае только нечетным, причем эти пересечения будут вносить в общий поток попеременно то положительный, то отрицательный вклад. В итоге, сколько бы раз данная линия не пересекала поверх­ность, результирующий вклад в поток будет равен либо плюс единице (для линии, выходящей в конечном счете

наружу), либо минус единице (для линии, входящей внутрь).

Таким образом, какова бы ни была форма замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд q, поток век­тора Е сквозь эту поверхность оказывается равным q/го.

Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности за­ключено несколько точечных зарядов произвольных зна­ков: qu q2 и т. д. Поток вектора Е по определению ра­вен

 

(кружок у знака интеграла указывает на то, что инте­грирование производится по замкнутой поверхности). В силу принципа суперпозиции полей

Подставив (8.2) в выражение для потока, получим

где   Eni — нормальная   составляющая напряженности поля, создаваемого i-м зарядом в отдельности. Но, как было показано выше,

Следовательно,

Доказанное нами утверждение носит название тео­ремы Гаусса. Эта теорема может быть сформули­рована следующим образом: поток вектора напряженно­сти электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ео.

В частности, если внутри поверхности заряды отсут­ствуют, поток равен нулю. В этом случае каждая линия

напряженности поля (создаваемого зарядами, располо­женными вне поверхности) пересекает поверхность чет­ное число раз, выходя наружу столько же раз, сколько и входя внутрь (рис. 12). В итоге вклад, вносимый в по­ток каждой из линий, будет равен нулю.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плот­ностью р1), теорема Гаусса должна быть записана сле­дующим образом:

где интеграл справа берется по объему. V, охватывае­мому поверхностью 5.

В гауссовой системе в формулах (8.3) и (8.4) вместо 1/е0 стоит множитель 4я.

Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти на­пряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (5.3) для напряженно­сти поля точечного заряда и принципа суперпозиции по­лей. Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на нескольких полезных для дальнейшего примерах.

 

') Объемная плотность заряда определяется, по аналогии с обычной плотностью следующим образом:

где Ад — заряд, заключенный внутри малого объема AV.

Кроме объемной плотности заряда нам понадобятся в даль­нейшем

где Ад — заряд, находящийся на элементе поверхности AS,

где Ад— заряд, находящийся на отрезке цилиндрического тела, имеющем длину А1.

1. Поле бесконечной однородно заряженной плоско­сти. Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной плоско­стью, заряженной с постоянной поверхностной плотно­стью а; для определенности будем считать заряд поло­жительным. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости. В самом деле, посколь­ку плоскость бесконечна и заря­жена однородно (т. е. с постоян­ной плотностью), нет никаких оснований к тому, чтобы сила, действующая на пробный заряд, отклонялась в какую-либо сто­рону от нормали к плоскости. Далее очевидно, что в сим­метричных относительно плоско­сти точках напряженность поля будет одинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе" мысленно цилинлрическую поверхность с образующими, перпендикуляр­ными ,к плоскости,' и основания­ми величины AS, расположенными относительно пло­скости симметрично (рис. 13). Применим к этой поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Еп в каждой ее точке равна нулю. Для оснований Еп совпа­дает с Ё. Следовательно, суммарный поток через по­верхность будет равен 2Е AS. Внутри поверхности за­ключен заряд с'AS. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие

 

откуда

 

Полученный нами результат не зависит от длины ци­линдра. Таким образом, на любых расстояниях от пло­скости напряженность поля одинакова по величине. Картина линий напряженности выглядит так, как пока­зано на рис. 14. Для отрицательно заряженной плоско-

сти результат будет таким же, лишь направление век­тора Е и линий напряженности изменится на обратное.

Если взять плоскость конечных размеров, например заряженную тонкую пластинку1), то полученный выше результат будет справедливым лишь для точек, расстоя­ние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки (на рис. 15 область этих точек обведена пунктирной кривой). По мере удаления от плоскости или приближения к ее краям поле будет

 

все больше отличаться от поля бесконечной заряженной плоскости. Характер поля на больших расстояниях лег­ко представить, если учесть, что на расстояниях, значив тельно превышающих размеры пластинки, создаваемое ею поле можно рассматривать как поле точечного за­ряда.

2. Поле двух разноименно заряженных плоскостей.

Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заря­женных разноименно с одинаковой по величине постоян­ной поверхностной плотностью с, можно найти как су­перпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Легко видеть (рис. 16), что в области

 

между плоскостями складываемые поля имеют одинако­вое направление, так что результирующая напряжен­ность равна

В гауссовой системе эта формула имеет вид

Вне объема, ограниченного плоскостями, складывае­мые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряжен­ность равна нулю.

Таким, образом, поле ока­зывается сосредоточенным между плоскостями. Напря­женность поля во всех точках

этой области одинакова по величине и по направ­лению. Поле, обладающее такими свойствами, назы­вается однородным. Линии напряженности однородного поля представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых.

Полученный нами результат приближенно справед­лив и в случае плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями значительно меньше их линейных размеров (плоский конденсатор). В этом слу­чае заметные отклонения поля от однородности и вели­чины напряженности от о/ео наблюдаются только вбли­зи краев пластин (рис. 17),

3. Поле бесконечного заряженного цилиндра. Рас­смотрим поле, создаваемое бесконечной цилиндриче­ской поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью а. Из соображений симмет­рии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а величина напря­женности может зависеть лишь от расстояния г от оси цилиндра. Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую

поверхность радиуса г и высоты h (рис. 18). Для осно­ваний этого цилиндра Еп ~ 0, для боковой поверхности Еп = Е(г) (заряд считаем положительным). Следова­тельно, поток линий Е через эту замкнутую поверхность будет равен E(r) •2nrh. Если r>R, внутрь поверхности попадает заряд д = Xh, где X — линейная плотность за­ряда. Применяя теорему Гаусса, получаем

откуда

 

Если г < R, рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего Е (г) =а 0.

Таким образом, внутри заряженной цилиндрической поверхности бесконечной длины поле отсутствует. На­пряженность поля вне поверхности определяется лишь

линейной плотностью заряда К1) и расстоянием г от оси цилиндра. Поле отрицательно заряженного цилин* дра отличается от поля цилиндра, заряженного положи­тельно, только направлением вектора Е.

Из формулы (8.8) следует, что, уменьшая радиус цилиндра R (при неизменной линейной плотности за­ряда X), вблизи поверхности цилиндра можно получить

очень сильное поле, т. е. по­ле с .очень большой напря­женностью Е.

Учтя, что X = 2nRa, для напряженности в непосред­ственной близости от по­верхности (г = R) в соот­ветствии с (8.8) получаем

С помощью принципа суперпозиции легко найти поле двух коаксиальных ци­линдрических поверхностей,. заряженных с одинаковой по величине, но отличающейся знаком линейной плотностью X (рис. 19). Внутри мень­шего и вне большего цилиндров поле отсутствует. В за* зоре между цилиндрами величина напряженности поля определяется формулой (8.8). Это справедливо и для цилиндрических поверхностей конечной длины, если за­зор между поверхностями значительно меньше их дли­ны (цилиндрический конденсатор). Заметные отступле­ния от поля поверхностей бесконечной длины будут на­блюдаться только вблизи краев цилиндров.

4. Поле заряженной сферической поверхности. Поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса R, за-> ряженной с постоянной поверхностной плотностью с, будет, очевидно, отличаться центральной симметрией. Это означает, что направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженно­сти является функцией расстояния г от центра сферы. Вообразим сферическую поверхность радиуса г. Для

всех точек этой поверхности Еп — Е(г). Если r>R, внутрь поверхности попадает весь заряд q, создающий рассматриваемое поле. Следовательнр,

откуда

 

В гауссовой системе в этой формуле нет множителя -——.

4jtЈg

Сферическая поверхность радиуса г, меньшего, чем R, не будет содержать зарядов, вследствие чего для г < R получается Е(г) = 0.

Таким образом, внутри сферической- поверхности, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о, поле отсутствует. Вне этой поверхности поле имеет та­кой же вид, как поле точечного заряда той же величины, помещенного в центре сферы.

Заменив в (8.10) q через 4яЯ2о и положив г— R, по­лучим для напряженности поля вблизи заряженной сфе­рической поверхности

 

[ср. с формулой (8.9)].

Используя принцип суперпозиции, легко показать, что поле двух концентрических сферических поверхно­стей (сферический конденсатор), несущих одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды +q и —q, сосредоточено в зазоре между поверхностями, причем ■ величина напряженности поля в этом зазоре определяется формулой (8.10).

5. Поле объемно заряженной сферы. Рассмотрим сферу радиуса R, заряженную с постоянной объемной плотностью р. Поле такой сферы, очевидно, обладает центральной симметрией. Легко видеть, что для поля вне сферы получается тот же результат [в том числе и формула (8.10)], что и в случае поверхностно заря­женной сферы. Однако для точек Внутри сферы резуль­тат будет иным. В самом деле, сферическая поверхность радиуса  г   (г < R)  заключает в себе заряд, равный

р • 4 яг3.   Следовательно, теорема  Гаусса для такой

поверхности запишется следующим образом:  откуда, заменяя р через, получаем

 

Таким образом, внутри сферы напряженность поля растет линейно с расстоянием г от центра сферы. Вне сферы напряженность убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда.