§ 10. Потенциал

Мы знаем из механики, что тело, находящееся в по­тенциальном поле сил, обладает потенциальной энер­гией, за счет которой совершается работа силами поля. Следовательно, работа (9.1) может быть представлена как разность значений потенциальной энергии, которы­ми обладал заряд а' в точках 1 и 2 поля заряда q:

Отсюда для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q получаем

Значение const в выражении для потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (г = оо) потенциаль­ная энергия обращалась в нуль. При этом условии по­лучается, что

 

Воспользуемся зарядом q' в качестве пробного за­ряда для исследования поля. Согласно (10.1) потен­циальная энергия, которой обладает пробный заряд, зависит не только от его величины q', но и от величин q и г, определяющих поле. Следовательно, эта энергия может быть использована для описания поля, подобно тому, как была использована для этой цели сила, дей; ствующая на пробный заряд.

Разные пробные заряды q'Bp, q'^ и т. д. будут обла­дать в одной и той же точке поля различной энергией

Wp, Wp и т. д. Однако, как видно из (10.1), отношение Wp/qUp будет для всех зарядов одно и то же. Величина

называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля Е, для описания электрических полей.

Как следует из (10.2), потенциал численно равен по­тенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

Подставляя в (10.2) значение потенциальной энер­гии (ЮЛ), получаем для потенциала поля точечного за­ряда следующее выражение:

В гауссовой системе потенциал поля точечного заряда в пустоте определяется формулой

 

Рассмотрим поле, создаваемое системой точечных зарядов qu q2, ... Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим п, г2, ... Работа, совер­шаемая силами этого поля над зарядом <?', будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каж­дым из зарядов в отдельности:

Но согласно (9.1) каждая из работ А% равна

где Гц — расстояние от заряда qi до начального поло­жения заряда q', ri2— расстояние от qt до конечного положения заряда q'. Следовательно,

Сопоставляя это выражение с соотношением

получаем .для потенциальной энергии заряда q в поле системы зарядов выражение

откуда

 

Таким образом, потенциал поля, создаваемого си­стемой зарядов, равен алгебраической сумме потенциа­лов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. В то время как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциа­лов оказывается обычно гораздо проще, чем вычисле­ние напряженностей электрического поля.

Из соотношения (10.2) вытекает, что заряд q, нахо­дящийся в точке поля с потенциалом ф, обладает потен­циальной энергией

 

Следовательно, работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов:

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Если заряд q из точки с потенциалом ср удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна

Отсюда следует, что потенциал численнЪ равен работе, которую совершают силы поля над единичным положи­тельным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу необхо­димо совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный за­ряд из бесконечности в данную точку поля.

Соотношение (10.7) можно использовать для уста­новления единиц измерения потенциала. За единицу

потенциала следует, очевидно, принять потенциал в та­кой точке поля, для перемещения в которую из беско­нечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ-единицу потенциала, называемую вольтом (сокращенное обозна­чение— в), принимается потенциал в Такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, рав­ного 1 кулону, нужно совершить работу в 1 джоуль:

отсюда

 

За абсолютную электростатическую единицу потенциала (СГСЭ-ед. потенциала) принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного +1 еди­нице СГСЭ, необходимо совершить работу в 1 эрг.

Выражая в соотношении (10.8) 1 дж и 1 к через единицы СГСЭ, найдем соотношение между вольтом и СГСЭ-ед. потенциала:

Таким образом, одна СГСЭ-единица потенциала равна 300 в.

В физике часто пользуются единицей работы и энер­гии, называемой электронвольтом (эв). Под электрон-вольтом подразумевается работа, совершаемая силами поля над зарядом, равным заряду электрона (т. е. над элементарным зарядом е) при прохождении им раз­ности потенциалов в 1 в:

Используются также кратные электронвольту еди­ницы:

Отметим, что величина КГ, характеризующая сред­нюю энергию теплового движения молекул, равна при комнатной температуре