§ 27. Энергия системы зарядов

Силы, с которыми взаимодействуют заряженные тела, консервативны (их работа не зависит от пути). Следовательно, система заряженных тел обладает по­тенциальной энергией. Найдем выражение для потен­циальной энергии системы точечных зарядов. Начнем с системы из двух зарядов qx и q2,. находящихся на рас­стоянии ri2. Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют. Положим в этом случае их энергию равной нулю. Сблизим заряды на заданное расстояние г\2. При этом мы должны будем совершить работу против электрических сил, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии "системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая qi к q2 либо q2 к qi. В обоих случаях совершается одина­ковая работа. Работа переноса заряда q\ из бесконечно­сти в точку, удаленную от q2 на Г\2, согласно (10.7) равна

 

где ф1 — потенциал, создаваемый зарядом q2 в той точ­ке, в которую перемещается заряд q\.

Аналогично работа переноса заряда q2 из бесконеч­ности в точку, удаленную от qi на г12, равна

где <р2 — потенциал, создаваемый зарядом qx в той точ­ке, в которую перемещается заряд q2.

Значения работ (27.1) и (27.2) одинаковы, и каждое из них выражает энергию системы

Для того чтобы в выражение энергии системы оба заряда входили симметрично, напишем его следующим образом:

 

Формула (27.3) дает энергию системы двух зарядов. Перенесем из бесконечности еще один заряд q% и поме­стим его в точку, находящуюся на расстоянии пз от q\ и Ггз от q2. При этом мы совершим работу

где ф3 — потенциал, создаваемый зарядами qi и q2 в той точке, в которую мы поместили заряд q3.

В сумме с Ai или Л2 работа А3 будет равна энергии трех зарядов:

Последнее выражение можно привести к виду

где ф1 — потенциал, создаваемый зарядами q2 и q$ в той точке, где расположен заряд q\, и т. д.

Добавляя к системе зарядов последовательно qt, qs и т. д., можно убедиться в том, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы равна

где ф» — потенциал, создаЁаемый в той точке, где на­ходится qit всеми зарядами, кроме t-ro.