§ 48. Контур с током в магнитном поле

Пусть прямоугольный плоский контур с током по­мещается в однородном магнитном поле. Если контур ориентирован так, что вектор В параллелен его плоско­сти (рис. 87), то стороны, имеющие длину Ь, не будут

испытывать действия сил, так как для них в формуле (46.5) sina = 0. На левый участок будет согласно за­кону Ампера действовать сила / = Ша, направленная за чертеж, на правый участок—■ такая же по величине, но противоположно направленная сила f. Эти силы обра­зуют пару, момент которой равен

Учитывая, что ab равно площади контура S, а iS дает величину магнитного момента рт, можно написать

Эта формула совпадает по существу с формулой (39.3).

Момент М стремится повернуть контур так, чтобы его магнитный момент рга установился по направлению поля В. Такая ориентация контура показана на рис. 88.

В этом случае /i = fs iBa, f2 — U — iBb. Направления всех сил лежат в плоскости контура. Легко видеть, что вращательный момент в этом случае не возникает. По­скольку поле однородно, равнодействующая сил равна нулю; силы лишь растягивают контур, но сместить его не могут. Заметим, что если повернуть контур на 180° (или изменить направление поля на обратное), то на­правления всех сил изме­нятся на противополож­ные, и они будут не рас­тягивать, а сжимать кон­тур.

Покажем, что фор­мула (48.1) справедлива и для плоского контура произвольной формы. Ра­зобьем площадь кон­тура на узкие параллель­ные направлению вектора В полоски шириной dh (рис. 89, а). На элемент контура dli действует си­ла dfi = IB dl\ sin он, на­правленная за чертеж. На элемент dl2 действует сила df2 = iB dl2 sin аг, имеющая противоположное направле­ние. Как видно из рис. 89, б, dh sin си = dl2 sin а2 = dh — ширине полоски. Следовательно, силы dit и di2 одина­ковы по величине и образуют пару, момент которой ра­вен

где Ъ — длина полоски. Произведение b dh дает площадь полоски dS. Таким образом,

Беря попарно силы, приложенные к противолежащим элементам контура, и суммируя их моменты, получим ре-^ зультирующий момент, действующий на контур;

Итак, мы снова пришли к формуле (48.1).

При произвольной ориентации контура (рис. 90) магнитную индукцию В можно разложить на составляю­щие: Bj. — перпендикулярную и Bj — параллельную пло­скости контура, и рассматривать действие каждой со­ставляющей отдельно. Составляющая В± будет обуслов­ливать силы, растягивающие или сжимающие контур. Составляющая Вц, величина которой равна В sin а (а — угол между fhn и В), приведет к возникновению враща­тельного момента, который можно вы­числить по формуле (48.1):

Принимая во внимание взаимную ориентацию векторов М, рт и В, фор­мулу (48.2) можно записать в виде

Для вакуума в гауссовой системе эта фор­мула имеет вид

Для того чтобы угол а между векторами рт и В уве­личить на da, нужно совершить против сил, действую­щих на контур в поле, работу

Поворачиваясь в иервоначальшое положение, контур может возвратить затраченную на его поворот работу, совершив ее над какими-либо телами. Следовательно, работа (48.5) идет на увеличение энергии W, которой обладает контур с током в магнитном поле,

Интегрируя, находим, что

Если положить comt = 0, формула приобретает вид  Для вакуума в гауссовой системе можно написать

Отметим, что формула (48.6) аналогична выраже­нию (14.4) для энергии, которой обладает диполь в элек­трическом поле.

Теперь рассмотрим плоский контур с током в неод­нородном магнитном поле. Для простоты будем вначале считать контур круговым. Предположим, что поле изме­няется быстрее всего в направлении х, совпадающем с направлением В в том месте, где расположен центр контура, и что магнитный момент контура ориентирован вдоль поля (рис 91, а).

Сила df, действующая на элемент контура, перпен­дикулярна к В, т. е. к линии магнитной индукции в месте пересечения ее с dl. Поэтому силы, приложенные к раз­личным элементам контура, образуют симметричный ко­нический «веер» (рис. 91,6). Их результирующая f на­правлена в сторону возрастания В и, следовательно, втя­гивает контур в область более сильного поля. Очевидно, что чем сильнее изменяется поле (чем больше градиент

поля -§§-). тем меньше угол раствора «веера» и тем

больше, при прочих равных условиях, результирующая сила f. Если изменить направление тока в контуре на обратное (при этом рт станет противоположным В), на­правления всех сил di и их результирующей f изменят­ся на обратные (рис. 91,в). Следовательно, при такой взаимной ориентации векторов рт и В контур будет вы­талкиваться из поля.

С помощью выражения (48.6) для энергии контура в магнитном поле легко найти количественное выраже­ние для f. Если ориентация магнитного момента по отно-

шению к полю остается неизменной (а = const), то W будет зависеть только от х (через В). Дифференцируя W по х и изменяя у результата знак, получим проекцию силы на ось х

По предположению в других направлениях поле из­меняется слабо, поэтому проекциями силы на другие оси можно пренебречь и считать, что / = /*. Итак,

Согласно полученной нами формуле сила, действую­щая на контур с током в неоднородном магнитном поле, зависит от ориентации магнитного момента контура от­носительно направления поля. Если векторы рт и В сов­падают по направлению (а = 0), сила положительна, т. е.

направлена в сторону возрастания В 1-^- предпола­гается положительным; в противном случае знак и на­правление силы изменятся на противоположные, но сила по-прежнему будет втягивать контур в область сильного поля). Если рт и В антипараллельны (а = я), сила от­рицательна, т. е. направлена в сторону убывания В. Этот результат мы уже получили качественно с по­мощью рис. 91.

Разумеется, что кроме силы (48.8) на контур с током в неоднородном магнитном поле будет действовать так­же вращательный момент (48.3).