§ 59. Явление самоиндукции

Электрический ток i, текущий в любом контуре, со­здает пронизывающий этот контур магнитный поток 4х. При изменениях i будет изменяться также W и, следо­вательно, в контуре будет индуцироваться э. д. с. Это явление называется самоиндукцией.

В соответствии с законом Био — Савара магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток в контуре i и соз­даваемый им полный магнитный поток через контур 4х друг другу пропорциональны:

Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индук­тивностью контура1).

Линейная зависимость \Р от i имеет место лишь в том случае, если относительная магнитная проницае­мость ц. среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля Я, т. е. в отсутствие ферромаг­нетиков. В противном случае ц. является сложной функ­цией (см. рис. 103) от i (через Я), и, поскольку В — = |АоиЯ, зависимость \Р от i также будет довольно слож­ной. Однако соотношение (59.1) распространяют и на этот случай, считая индуктивность L функцией от L При неизменной силе тока i полный поток Ч' может изме­няться за счет изменений формы и размеров контура.

Из сказанного следует, что индуктивность L зависит от геометрии контура (т. е. его формы и размеров) и от магнитных свойств (от ц.) окружающей контур среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферро­магнетиков, индуктивность L будет постоянной вели­чиной.

За единицу индуктивности в СИ принимается индук­тивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 а возникает полный поток \Р, равный 1 вб. Эту единицу называют генри (гн).

Выражение, определяющее индуктивность L, имеет в гауссовой системе единиц вид

 

Чтобы найти размерность величины (59.2), воспользуемся тем, что в гауссовой системе В имеет размерность, равную согласно (40.5) размерности силы тока /, деленной иа размерность с и на размерность длины (последнюю мы будем обозначать символом И). Следовательно,

Таким образом, в гауссовой системе индуктивность имеет раз­мерность длины. В соответствии с этим единицу индуктивности в этой системе называют сантиметром. Индуктивностью в 1 см обла­дает такой контур, с которым при силе тока в 1 СГСМ-единицу (т. е. 10 а) сцеплен поток, равный 1 мкс (10~8 вб).

Между единицами L в СИ и в гауссовой системе имеется сле­дующее соотношение:

Вычислим индуктивность соленоида. Возьмем соле­ноид такой длины, чтобы его можно было практически считать бесконечным. При протекании по нему тока i внутри соленоида возбуждается однородное поле, маг­нитная индукция которого согласно формулам (42.6) и (44.24) равна В = ц0цш. Поток через каждый из вит­ков будет Ф = BS, а полный магнитный поток, сцеплен­ный с соленоидом, равен

 

где / — длина соленоида (которая предполагается очень большой), S — площадь поперечного сечения, п — число витков на единицу длины (произведение nl дает полное, число витков N).

Сопоставляя (59.4) с (59.1), получаем для индуктив­ности очень длинного соленоида следующее выражение:

где V = IS — объем соленоида. Заменив в (59.5) п че­рез Л7//, получим

 

В гауссовой системе формула для индуктивности соленоида имеет следующий вид:

 

В соответствии с (59.6) размерность ц0 равна раз­мерности индуктивности, деленной на размерность дли­ны (напомним, что относительная магнитная проницае­мость ц.— безразмерная величина). Следовательно, в СИ до измеряется в генри на метр [см. (38.3)].

При изменениях силы тока в контуре возникает э. д. с. самоиндукции &s, равная [см. формулу (56.11)]

Если L при изменениях силы тока остается постоян­ной  (что, как уже отмечалось, возможно лишь при

отсутствии ферромагнетиков), выражение для &а имеет вид

В гауссовой системе

 

Соотношение (59.9) дает возможность определить индуктивность L как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в контуре и воз­никающей вследствие Этого э. д. с. самоиндукции. Од­нако такое определение правильно лишь в случае, когда L — const. В присутствии ферромагнетиков L недефор-мируемого контура будет функцией от i (через Я); сле-

dL       dL di j-,

довательно,       можно записать как -jf^J- Произведя

такую подстановку в формуле (59.8), получим

откуда видно, что при наличии ферромагнетиков коэф-

di о,

фициент пропорциональности между и <SS отнюдь не равен L.

В случае, когда L — const, изменение силы тока со скоростью 1 a/сек в проводнике с L — 1 ен приводит со­гласно (59.9) к возникновению <8& — \ в.