§ 101. Простое растяжение

Работа, производимая над жидкостью (или газом), зависит только от изменения ее объема, но не зависит от изменения формы сосуда, в котором она находится. Жидкости сопротивляются изменению их объема, но не сопротивляются изменению формы. С этим свойством^тесно связан и характерный для жидкостей известный закон Паскаля, согласно которому передаваемое жидкостью во все стороны давление одинаково: если, скажем, сжимать жидкость поршнем, то такое же давление будет действовать со стороны жидкости на все стенки сосуда. При этом всякая сила давления, оказываемого на жидкость и передаваемого ею, всегда перпендикулярна поверхности стенки: касательная к поверхности сила, не уравновешиваемая отсутствующим у жидкости сопротивлением изменению ее формы, не может существовать в условиях равновесия.

Твердые же тела, напротив, сопротивляются как изменению объема, так и изменению формы; они сопротивляются, как говорят, любому деформированию. Работа должна совершаться и в том случае, когда мы хотим изменить лишь форму твердого тела, без изменения его объема. Можно сказать, что внутренняя энергия твердого тела зависит не только от его объема, но и от формы. С этим связано то обстоятельство, что для твердых тел не справедлив закон Паскаля. Передаваемое твердым телом давление различно в разных направлениях. Давления, возникающие в твердом теле при его деформировании, называются упругими напряжениями. В отличие от давления в жидкости сила упругих напряжений в твердом теле может иметь любое направление по отношению к площадке, на которую она действует.

Простейшим видом деформации твердого тела является простое растяжение. Оно возникает в тонком стержне (рис. 1, а), один из концов которого закреплен, а к другому приложена сила F, стремящаяся растянуть стержень. [При противоположном направлении силы F возникает деформация простого сжатия.} Заметим, что закрепление в стенке, в силу закона равенства действия и противодействия, равносильно приложению к закрепленному концу силы, равной по величине и противоположной по направлению силе, действующей на свободный конец (рис. 1, б).

Упругие напряжения в стержне определяются величиной F/S растягивающей силы, отнесенной к 1 см2 площади S поперечного сечения стержня; обозначим ее через р. Эти напряжения, очевидно, одина ковы вдоль всей длины стержня. Это значит, что на каждый элемент длины стержня действуют со стороны прилегающих к нему частей стержня одни и те же растягивающие усилия р (рис. 1, б). Ясно поэтому, что каждый сантиметр длины стержня подвергается одинаковому растяжению, так что полное удлинение стержня б/ будет пропорционально его общей длине. Другими словами, относительное удлинение

(где /„ — длина стержня до деформации) есть величина, не зависящая от длины стержня. Именно эта величина является, очевидно, мерилом степени деформации, испытываемой каждым участком тела.

Благодаря большой сопротивляемости твердых тел испытываемые ими под влиянием внешних сил деформации обычно невелики. Именно, малыми являются величины относительных изменений размеров тела — относительное удлинение в случае простого растяжения. Для таких деформаций можно считать, что они пропорциональны величине

вызывающих их напряжений, а тем самым и величине приложенных к телу внешних сил. Это утверждение называется законом Тука.

Для простого растяжения закон Гука означает пропорциональность между относительным удлинением К и растягивающим напряжением р. Это соотношение принято записывать в виде

где коэффициент Е характеризует материал тела и называется модулем Юнга. Относительное удлинение К есть, очевидно, величина безразмерная. Поэтому размерность модуля Е совпадает с размерностью р, т. е. модуль Юнга имеет размерность давления.

Приведем для иллюстрации значения модуля Юнга (в миллионах бар) для некоторых материалов:

Модуль Юнга, однако, еще не характеризует полностью свойства тела по отношению к его деформированию (или, как говорят, его упругие свойства). Это ясно видно уже в случае простого растяжения. Дело в том, что продольное растяжение стержня связано с сокращением его поперечных размеров: удлиняясь, стержень одновременно становится более тонким. Значение модуля Юнга позволяет вычислить (по заданному напряжению) относительное удлинение стержня, но оно недостаточно для определения поперечного сжатия.

Относительное уменьшение поперечных размеров стержня пропорционально тому же растягивающему напряжению р, а тем самым оно пропорционально и величине относительного растяжения К. Отношение относительного поперечного сжатия стержня к его относительному удлинению есть характерная для каждого данного материала величина, которую называют коэффициентом Пуассона; обозначим его буквой о. Таким образом, относительное поперечное сжатие  (например, относительное уменьшение диаметра

растягиваемой проволоки) равно

Мы увидим ниже, что коэффициент Пуассона не может превышать 1/2. Для большинства материалов его значение лежит в интервале от 0,25 до 0,5. Значение о=0 достигается у пористых тел (например, у пробки), не меняющих при растяжении своих поперечных размеров.

Таким образом, упругие свойства твердого тела характеризуются двумя величинами: Е и о. Подчеркнем, однако, что в наших рассуждениях мы молчаливо подразумеваем, что твердое ведество изотропно (обычно речь идет о поликристаллических материалах). Деформация же анизотропного тела — монокристалла — зависит не только от расположения внешних сил по отношению к телу, но и от ориентации кристаллографических осей внутри него. Естественно, что упругие свойства кристаллов характеризуются большим числом величин, чем у изотропных тел. Это число тем больше, чем ниже симметрия кристалла, и составляет от 3 в случае кубических кристаллов до 21 у кристаллов три-клинной системы.

Работа, производимая над деформируемым телом, запасается в нем в виде упругой энергии. Вычислим эту энергию для растянутого стержня. Работа, производимая растягивающей силой F при увеличении длины стержня на бесконечно малую величину d(Z0A)=Z0fl7,, а тем самым и приращение упругой энергии

Подставив сюда F=Sp, р=ЕК и замечая, что произведение Sl0 есть объем V стержня, получим

Отсюда следует, что если относительное удлинение стержня меняется от нуля до некоторого X, то при этом производится работа ^VE№. Другими словами, в каждой единице объема деформированного стержня содержится упругая энергия

пропорциональная квадрату величины деформации. Ее можно представить также и в виде

Простое растяжение относится к однородным деформациям, т. е. таким, при которых все элементы объема тела деформируются одинаковым образом. Тесно связанной с простым растяжением (или сжатием), но неоднородной деформацией является изгиб тонкого стержня. Характер этой деформации легко уяснить, представив себе прут, согнутый в окружность. До изгиба прут был прямолинейным, так что длины всех его «волокон» от одного конца до другого были одинаковыми. После изгиба это уже не так. Длина каждого волокна составляет 2лг, где г — радиус образуемой им окружности; но радиус прута по внутренней окружности меньше, чем по внешней. Отсюда ясно, что, в то время как внутренняя часть прута испытала деформацию сжатия, внешняя часть растянулась. Поскольку боковых сил к поверхности прута не приложено, то упругие напряжения в нем действуют только вдоль его длины. Это и значит, что при изгибе в каждом элементе объема дело идет о простом растяжении или сжатии, но различном для разных элементов: участки, лежащие ближе к выпуклой стороне согнутого стержня, растягиваются, а расположенные ближе к вогнутой стороне — сжимаются.