§ 102. Всестороннее сжатие

Формулы, относящиеся к простому растяжению, легко обобщить для произвольных однородных деформаций.

Пусть твердый брусок в форме прямоугольного параллелепипеда растягивается (или сжимается) действующими на него со всех сторон силами, распределенными равномерно по каждой из его граней (рис. 2). Эти силы создают в теле упругие напряжения, в общем случае различные в трех взаимно перпендикулярных направлениях (направления вдоль трех ребер параллелепипеда); обозначим их через рх, ру, pz, причем положительные их значения отвечают растягивающим усилиям, а отрицательные — сжимающим. Относительные же изменения длин в этих направлениях (положи-

тельные при растяжении и отрицательные при сжатии) обозначим через Кх, К Кг.

Будем рассматривать эту деформацию как результат трех последовательных простых растяжений вдоль каждой из осей. Так, при растяжении под действием напряжения рх тело удлиняется вдоль направления х и укорачивается в поперечных направлениях у и г, причем

Суммируя результаты трех таких деформаций, получим следующие формулы:

Найдем также, чему равно изменение объема тела при деформации. Объем параллелепипеда с длинами ребер 1Х, 1у, 1г есть У—1х1у1г. Прологарифмируем это выражение:

и напишем его дифференциал

Три члена этой суммы представляют собой относительные удлинения вдоль соответствующих осей. Поэтому

т. е. относительное изменение объема

равно сумме относительных удлинений по трем взаимно

перпендикулярным направлениям.

Подставив сюда написанные выше выражения для Кх, Ку, Kz, получим

Рассмотрим некоторые интересные частные случаи однородных деформаций.

Если тело подвергается одинаковым со всех сторон растягивающим (или сжимающим) усилиям, т. е. если действующие в нем упругие напряжения одинаковы во всех направлениях (рх=ру=рг), то одинаковы и относительные изменения всех размеров тела (Кх=Ку=К2~К). Такая деформация называется всесторонним растяжением (или сжатием). При этом

а относительное изменение объема  где коэффициент

называется модулем всестороннего сжатия. Обратная ему величина (1/К) совпадает, очевидно, с коэффициентом сжимаемости

который мы рассматривали в § 58. Таким образом, полученная формула связывает обычную сжимаемость твердого тела с его модулем Юнга и коэффициентом Пуассона.

Упругая энергия, запасенная в теле (в единице его объема) при всестороннем сжатии, равна

Величина К у всех тел должна быть положительной — объем тела увеличивается при растяжении и уменьшается при сжатии. В § 70 было указано, что тела с обратной зависимостью объема от давления были бы абсолютно неустойчивы и потому не могут существовать в природе. [Это видно также и из написанной только что формулы для упругой энергии: при К<.0 эта энергия была бы отрицательной, а поскольку механическая система стремится перейти в состояние с наименьшей потенциальной энергией, то такое те-

ло стремилось бы самопроизвольно неограниченно деформироваться.]

Из положительности К следует, что должно быть и 1—2а > 0, так что

т. е. коэффициент Пуассона не может превышать 1/2.

Рассмотрим еще сжатие бруска, зажатого боковыми стенками настолько жестко, что его поперечные размеры можно считать неизменяющимися (рис. 3); в таком случае говорят об одностороннем сжатии.

Пусть направлению сжатия соответствует ось х. В силу реакции стенок, препятствующих боковому расширению бруска, в нем возникают поперечные напряжения ру и pz. Их величина определяется из условия неизменности раз меров бруска вдоль осей у и г Ску~ Хг=0), причем из соображений симметрии заранее очевидно, что Ру—Рг- Написав

найдем, что поперечные напряжения связаны с сжимающим давлением рх соотношением

Продольное же сжатие бруска определится формулой  § 103. Сдвиг

При всестороннем сжатии форма тела остается подобной самой себе, меняется лишь объем тела. Большой интерес представляют также деформации обратного характера, при которых меняется только форма, но не объем тела. Такие деформации называют сдвигом.

Неизменность объема означает, что

Отсюда следует, что и  Подставив py+pz=—рх в формулу

найдем, что относительное удлинение (или укорочение) вдоль какого-либо из ребер бруска и действующее в том же направлении напряжение связаны формулой

В это соотношение входит величина Ј/(l+a). Половину этой величины называют модулем сдвига G

Проще всего, однако, осуществить деформацию сдвига, прилагая к бруску силы не перпендикулярные, а касательные кего поверхности. Пусть нижняя грань бруска закреплена неподвижно, а к верхней грани приложены силы, действующие в ее плоскости; направленные таким образом напряжения часто называют скалывающими. Под действием этих сил параллелепипед скосится, как '■показано на рис. 4. Угол скоса В (на-

зываемый углом сдвига) при малых деформациях (которые мы только и рассматриваем) является малой величиной. В первом приближении можно считать, что высота параллелепипеда не изменится, поэтому не изменится и объем, т. е. мы действительно имеем дело с деформацией сдвига. Можно показать, что угол сдвига В связан с величиной р скалывающей силы (приложенной к 1 см2 площади) соотношением

Как и модуль всестороннего сжатия, модуль сдвига должен быть величиной положительной (только при этом условии будет положительной упругая энергия, запасаемая в теле, подвергнутом деформации сдвига). Отсюда следует, что должно быть 1+о>0, т. е. о>—1.

Вспомнив также полученное в предыдущем параграфе неравенство о<1/2, мы можем сказать, что значения коэффициента Пуассона для всех тел должны лежать в пределах

Эти условия — единственные, которые следуют из общих требований механической устойчивости твердого тела. Таким образом, в принципе, могли бы существовать и тела с отрицательными значениями о. Сделанный из такого материала стержень должен был бы расширяться при простом растяжении, а не сжиматься, как это подра зумевалось в § 101. В природе,

однако, не известны тела, обладающие такими свойствами, так что фактически коэффициент Пуассона меняется только в пределах от 0 до 1/2. Близкие к 1/2 значения достигаются у таких тел, как резина, которые значительно легче поддаются изменению своей формы, чем изменению своего объема: их модуль сжатия велик по сравнению с модулем сдвига.

Рассмотренный нами сдвиг прямоугольного бруска представляет собой однородную деформацию. Деформацией чистого сдвига, но неоднородной, является кручение стержня. Она возникает, если, закрепив один конец стержня, закрутить его второй конец. При этом различные сечения стержня будут поворачиваться на различные углы относительно закрепленного основания. Так как при этом не меняется ни высота, ни площадь сечения стержня, то не меняется также и его объем.

Легко выяснить, как распределена по объему стержня деформация сдвига при кручении. Рассмотрим стержень кругового сечения (радиуса R), и пусть его верхнее основание

поворачивается относительно нижнего на некоторый угол ср (рис. 5). Каждая из образующих цилиндрической поверх" ности стержня АВ переходит при этом в наклонную линию АВ'. Поскольку расстояние ВВ' равно Ry, то малый угол сдвига В на поверхности стержня равен

(I — длина стержня). Применяя такие же рассуждения к цилиндрической поверхности радиуса r<lR, мы найдем, что ее элементы тоже испытывают сдвиг, но на угол

меньший угла сдвига В на поверхности стержня. Таким образом, при кручении различные элементы стержня испытывают различный сдвиг — тем меньший, чем ближе элемент к оси стержня.

Вследствие деформации в закручиваемом стержне возникают упругие силы, уравновешивающие приложенные внешние силы. А так как элементы стержня могут вращаться вокруг его оси, то условие равновесия, как известно из механики, сводится к равенству моментов упругих сил и приложенных сил. Отсюда следует, что величина деформации кручения должна определяться моментом приложенных сил относительно оси стержня (или, как говорят, скручивающим моментом). При малых деформациях (когда мал угол сдвига В) справедлив закон Гука и угол закручивания стержня пропорционален скручивающему моменту.

Соотношением между углом закручивания и скручивающим моментом можно воспользоваться для измерения последнего. Такой способ измерения момента сил широко используется в физике в так называемых крутильных весах. В качестве «стержня» при этом применяются обычно тонкие кварцевые нити (толщиной 1—100 мкм), отличающиеся большой чувствительностью и прочностью; измерение угла закручивания нити осуществляется по перемещению светового «зайчика», отраженного от прикрепленного к нити зеркальца. С помощью таких весов можно измерять чрезвычайно малые моменты. Естественный предел их чувствительности кладется лишь теми самопроизвольными хаотическими

колебаниями весов, которые происходят в силу неизбежных тепловых флуктуации (аналогичных броуновскому движению). Так, амплитуда флуктуационных крутильных колебаний весов, использующих кварцевую нить длиной 10 см и толщиной 1 мкм, составляет при комнатной температуре доли угловой минуты.