§ 6. Ускорение

В общем случае движения материальной точки ее скорость непрерывно изменяется как по величине, так и по направлению. Пусть за время dt скорость изменилась на dv. Если отнести это изменение к единице времени, то мы получим вектор ускорения материальной точки, который будем обозначать через W.

Таким образом, ускорение определяет изменение скорости частицы и равно производной от скорости по времени.

Если направление скорости не изменяется, т. е. материальная точка движется по прямой, то ускорение направлено по этой же прямой и равно, очевидно,

Легко также определить ускорение в том случае, когда скорость, оставаясь постоянной по величине, изменяется

только по направлению. Этот случай имеет место при равномерном движении материальной точки по окружности.

Пусть в некоторый момент времени скорость частицы равна v (рис. 3). Отложим вектор <v на вспомогательном графике от некоторой точки С (рис. 4). При равномерном

движении частицы по окружности конец вектора v (точка А) также равномерно движется по окружности радиуса v, равного абсолютному значению скорости. Ясно, что скорость перемещения точки А будет ускорением исходной частицы Р, так как перемещение точки А за время dt равно

dv, и, следовательно, скорость точки А равна. Эта скорость, имея направление касательной к окружности С, перпендикулярна v. На рисунке она обозначена буквой w. Если мы построим вектор w у точки Р, то он будет, очевидно, направлен к центру окружности О.

Таким образом, ускорение материальной точки, равномерно движущейся по окружности, направлено к центру окружности, т. е. перпендикулярно скорости.

Определим величину ускорения W. Для этого нужно найти скорость точки А, движущейся по окружности радиуса v. За время полного обращения точки Р по окружности О, которое мы обозначим через Т, точка А пробежит всю окружность С, т. е. пройдет путь 2nv. Поэтому скорость тэчки А, равная w, будет

Подставляя сюда значение периодагде г — радиус

траектории частицы Р, получим окончательно

Итак, если скорость меняется только по величине, направление ускорения совпадает с направлением скорости; если же скорость меняется только по направлению, то векторы скорости и ускорения взаимно перпендикулярны.

В общем случае, когда скорость меняется как по величине, так и по направлению, ускорение имеет две составляющие: одну вдоль скорости и другую — перпендикулярную ей. Первая, так называемая касательная или тангенциальная составляющая, равна производной от величины скорости по времени,

Вторая составляющая ускорения, до„, называется нормальной. Она пропорциональна квадрату скорости частицы и обратно пропорциональна радиусу кривизны траектории в данной точке.