§110. Теплосопротивление

Написанное выше простое соотношение между тепловым потоком и градиентом температуры дает возможность решать различные задачи, относящиеся к явлению теплопроводности.

Рассмотрим слой вещества (толщины d), заключенный между двумя параллельными плоскостями; площадь каждой из них обозначим через S. Предположим, что эти граничные плоскости поддерживаются при различных температурах 7\ и Г2 (пусть 7\;>Г2). Коэффициент теплопроводности вещества зависит, вообще говоря, от температуры. Мы, однако, будем считать, что разность температур Тх и Т2 не слишком велика, так что изменением коэффициента теплопроводности по толщине слоя можно пренебречь и считать величину и постоянной.

Выберем ось х вдоль толщины слоя, причем координату х будем отсчитывать от плоскости Тг. Очевидно, что в слое установится такое распределение температуры, при котором последняя будет зависеть только от х. При этом через слой вещества будет распространяться тепловой поток по направлению от плоскости Тх к плоскости Тг. Найдем связь

между этим потоком и вызывающим его перепадом температуры 7\—Т2.

Полный поток тепла Q, проходящий за 1 сек через все сечение слоя (параллельное граничным плоскостям), равен произведению qS потока q через единицу площади на полную площадь S сечения. Вспомнив связь q с градиентом температуры, напишем

Очевидно, что поток Q не зависит от х. Действительно, тепло по дороге через слой нигде не расходуется и не появляется извне; поэтому полное количество тепла, проходящего за 1 сек через любую поверхность, пересекающую весь слой, должно быть одинаково. Поэтому из написанного уравнения следует, что

т. е. температура меняется вдоль толщины слоя по линейному закону. При х=0, т. е. на одной из граничных плоскостей, должно быть Т=Тг; отсюда находим, что const = 7\, т. е.

На другой граничной плоскости (x=d) должно быть Т=Т2, т. е.

Отсюда

Этой формулой и определяется искомая связь между потоком тепла Q и разностью температур на границах слоя.

Рассмотрим теперь слой вещества, ограниченный двумя концентрическими сферами (с радиусами гх и г2), поддерживаемыми при температурах Тх и Г2; рис. 1 изображает экваториальный разрез слоя. Температура в каждой точке внутри слоя зависит, очевидно, только от расстояния г до центра сфер.

Поскольку единственной координатой, от которой зависит в данном случае температура, является г, тепловой поток q везде направлен вдоль радиусов и равен

Паяный же поток тепла через шаровую поверхность с радиусом г, концентрическую с обеими сферами и лежащую

между ними, равен

откуда

По тем же причинам, что и в предыдущем случае, полный поток тепла через любую замкнутую поверхность, охватывающую внутренний шар, должен быть одинаковым; поэтому Q не зависит от г. Из написанного уравнения теперь находим

Постоянное слагаемое определяется условием Т~ТХ при г=гх, так что

Наконец, из условия Т=Т2 при г=г2 получим следующее соотношение между полным потоком тепла и разностью температур на границах слоя:

В частности, если г2=ос, т. е. если вокруг шаровой поверхности радиуса гх мы имеем неограниченную среду (Г2 есть в этом случае температура на бесконечности),

выражение для потока тепла приобретает вид

Отношение разности температур на границах тела к полному тепловому потоку называется теплосопротивле-нием тела. Из полученных формул видно, что теплосопро-тивление для плоского слоя равно

а для шарового слоя

Совершенно аналогичные результаты относятся, очевидно, и к диффузии в растворе, ограниченном двумя плоскостями или двумя шаровыми поверхностями, на которых поддерживаются определенные концентрации. В предыдущих формулах надо только вместо температуры писать концентрацию, вместо теплового потока — диффузионный и вместо к — коэффициент диффузии D.

Применим полученные формулы к вопросу о быстроте плавления. Представим себе кусок льда, погруженный в воду с температурой 7\ выше 0° С. Поскольку равновесие льда с водой возможно (при атмосферном давлении) лишь при вполне определенной температуре Т0=0° С, то непосредственно прилегающий ко льду слой воды будет иметь именно эту температуру. По мере же удаления от льда температура воды повышается, стремясь к заданному значению Тг. Из воды ко льду будет распространяться тепловой поток. Достигая льда, тепло поглощается в нем в виде теплоты плавления, необходимой для превращения льда в воду. Так, если кусок льда имеет шарообразную форму (радиуса г0), то в единицу времени он получит из окружающей его воды (которую рассматриваем как неограниченную среду) количество тепла

Разделив эту величину на удельную теплоту плавления, мы найдем количество льда, тающего в единицу времени. Таким образом, скорость плавления определяется процессом теплопроводности в окружающей лед воде.

Аналогичным образом скорость растворения твердого тела в жидкости определяется скоростью диффузии растворяющегося вещества в жидкости. Вблизи поверхности тела сразу образуется узкий слой насыщенного раствора. Дальнейшее же растворение происходит по мере диффузии растворенного вещества из этого слоя в окружающую жидкость. Так, если растворяемое тело имеет форму шара (радиуса г0), то полный диффузионный поток J от шара в растворитель, иначе говоря, количество растворяющегося в единицу времени вещества равно

Здесь с0— концентрация насыщенного раствора, а концентрация в жидкости вдали от шара положена равной нулю.

Процессами диффузии и теплопроводности определяется также и скорость испарения жидкой капли, находящейся в постороннем газе — воздухе. Капля окружена прилегающим к ней слоем насыщенного пара, из которого вещество медленно диффундирует в окружающий воздух. Кроме того, существен и процесс теплопередачи из воздуха к капле.

Рассмотренные примеры характерны в том отношении, что скорость фазовых переходов, протекающих в стационарных условиях, обычно определяется процессами диффузии и теплопроводности.