§111. Время выравнивания

Если концентрация раствора в различных его местах различна, то, как мы уже знаем, благодаря диффузии с течением времени состав раствора выравнивается. Определим порядок величины времени t, необходимого для выравнивания. Это можно сделать, исходя из соображений о размерности тех величин, от которых это время может зависеть.

Прежде всего очевидно, что время t не может зависеть от величины самих концентраций в растворе. Действительно, если все концентрации изменить в некоторое число раз, то во столько же раз изменится и диффузионный погок, производящий выравнивание концентраций; время же выравнивания останется, следовательно, прежним.

Единственными физическими величинами, от которых может зависеть время t диффузионного выравнивания, яв-

ляются коэффициент диффузии D в данной среде и размеры той области среды, в которой концентрации различны. Обозначим через L порядок величины этих размеров (линейных).

Размерности величин D и L: Ю]=см2/сек, \Ь]=см. Очевидно, что из них можно составить всего одну комбинацию, которая имела бы размерность времени: L2/D. Таким и должно быть по порядку величины время t:

Таким образом, время выравнивания концентраций в области с размерами L пропорционально квадрату этих размеров и обратно пропорционально коэффициенту диффузии.

Рассмотренный вопрос можно обратить, поставив его следующим образом. Предположим, что в некоторый начальный момент времени некоторое количество растворенного вещества сконцентрировано в небольшом участке растворителя. С течением времени благодаря диффузии это скопление растворенного вещества будет «рассасываться», распределяясь по всему большому объему растворителя. Каково среднее расстояние L, на которое успеет распространиться диффундирующее вещество за промежуток времени Р Другими словами, мы хотим определить теперь расстояние по времени, а не время по расстоянию. Очевидно, что ответ на этот вопрос дается той же формулой, которую надо представить теперь в виде L~YDt. Таким образом, за время t диффундирующее вещество распространяется на расстояние, пропорциональное |/7.

Это соотношение можно воспринимать и в другом аспекте. Рассмотрим какую-либо одну молекулу растворенного вещества в растворе. Как и всякая молекула, она находится в беспорядочном тепловом движении. Можно поставить вопрос о том, каков порядок величины расстояния, на которое эта молекула успеет удалиться в течение времени t от точки своего первоначального нахождения. Другими словами, чему равно среднее расстояние, считаемое по прямой, между начальным и конечным положениями молекулы, двигавшейся в течение времени t. Вместо того чтобы рассматривать одну молекулу, представим себе, что имеется очень большое число молекул, находящихся вблизи друг друга. Тогда, как мы видели, благодаря диффузии эти

молекулы с течением времени разойдутся во все стороны в среднем на расстояние L^l^Dt. Очевидно, что это расстояние L и есть в то же время среднее расстояние, на которое за время t успевает отойти от своего первоначального положения каждая из молекул.

Этот результат относится не только к молекулам растворенного вещества, но и к любым взвешенным в жидкости частицам, совершающим броуновское движение.

Мы говорили здесь все время о диффузии, но те же соображения относятся и к теплопроводности. Мы видели в § 109, что роль коэффициента диффузии играет при распространении тепла коэффициент температуропроводности %. Поэтому для времени t выравнивания температуры в теле с линейными размерами L имеем'

Можно обратить и это соотношение, как мы сделали выше для случая диффузии. В связи с этим рассмотрим следующий вопрос. Допустим, что на поверхности тела искусственно создаются колебания температуры с некоторой частотой со. Эти колебания будут проникать и внутрь тела, создавая, как говорят, тепловую волну. Амплитуда колебаний температуры, однако, будет затухать по мере углубления внутрь тела, и возникает вопрос о том, на какую глубину L колебания проникнут. Роль характерного промежутка времени играет в этом явлении период колебаний, т. е. величина, обратная частоте. Подставив 1/со вместо времени t в соотношение, связывающее расстояние распространения тепла со временем, получим

чем и решается поставленный вопрос.