§ 112. Длина свободного пробега

Переходя к изучению теплопроводности и диффузии в газах, мы должны предварительно остановиться на характере взаимодействия молекул газа несколько подробнее, чем мы это делали до сих пор.

Взаимодействие между молекулами газа осуществляется путем их столкновений. В течение большей части времени молекулы находятся сравнительно далеко друг от друга и движутся как свободные, практически не взаимодействуя друг с другом. Молекулы вступают во взаимодействие лишь на короткие промежутки времени, на период их взаимных столкновений. Этим газ отличается от жидкости, где молекулы находятся в непрерывном взаимодействии, и об их отдельных «столкновениях» не может быть и речи.

Сталкиваться молекулы могут самым различным образом. Строго говоря, при всяком пролетании молекул друг мимо друга на не слишком большом расстоянии они как-то изменяют свои скорости. Поэтому самое понятие «столкновения» не имеет вполне точного смысла. Для того чтобы сделать это понятие более определенным, мы будем понимать под столкновениями только те случаи, когда молекулы проходят настолько близко друг от друга, что взаимодействие существенно меняет их движение, т. е. их скорости существенно меняются по величине или направлению.

Столкновения молекул в газе происходят совершенно беспорядочно. Поэтому и путь, проходимый молекулой между испытываемыми ею двумя последовательными столкновениями, может быть самым разнообразным. Можно, однако, ввести понятие о некоторой средней величине длины пробега молекул газа между столкновениями. Это расстояние, которое называют просто длиной свободного пробега молекул, является важной характеристикой молекулярно-ки-нетических свойств газа; будем обозначать его буквой /. Наряду с этой величиной можно рассматривать также и среднее время т между двумя последовательными столкновениями. Очевидно, что по порядку величины

где v — средняя скорость теплового движения молекул.

Рассмотрим две сталкивающиеся молекулы, из которых одну будем считать неподвижной. Представим себе, что неподвижная молекула находится в некоторой плоскости, а движущаяся молекула пересекает эту плоскость. Как было указано, мы говорим о столкновении молекул только в тех случаях, когда они проходят настолько близко друг от-

друга, что их движение существенно меняется. Это значит, что движущаяся молекула в нашем примере испытает столкновение с неподвижной, только если она пересечет плоскость где-либо в пределах определенной небольшой площадки, описанной вокруг неподвижной молекулы. Эта «прицельная» площадь, в которую должна попасть молекула, называется эффективным сечением (или просто сечением) столкновений; обозначим его буквой о.

Определим в качестве примера эффективное сечение столкновений для молекул, рассматриваемых как твердые шарики с радиусами г0. Наибольшее расстояние между центрами двух шариков, на котором они могут пройти так, чтобы еще коснуться друг друга, равно 2г0. Поэтому «прицельная» площадь, в которую должна попасть молекула для того, чтобы произошло столкновение, есть круг с радиусом 2г0 вокруг центра неподвижной молекулы. Таким образом, эффективное сечение столкновений в рассматриваемом случае равно

т. е. учетверенной площади поперечного сечения шарика.

В действительности, конечно, молекулы не являются твердыми шариками. Однако поскольку сила взаимодействия двух молекул очень быстро убывает с увеличением расстояния между ними, то столкновения происходят лишь, если молекулы почти «задевают» друг друга. Поэтому эффективное сечение столкновений имеет порядок величины площади поперечного сечения молекулы.

Пусть молекула при своем движении прошла 1 см. Представим себе, что молекула при этом вырезает из пространства объем длиной 1 см и площадью поперечного сечения о; объем этой цилиндрической области равен о. Молекула на своем пути столкнется со всеми теми молекулами, которые находятся внутри этого цилиндра. Пусть п — число молекул в единице объема. Тогда число молекул в объеме о есть по. Таким образом, на пути в 1 см молекула испытывает по столкновений. Среднее же расстояние между двумя столкновениями, т. е. длина свободного пробега, имеет порядок величины

Из этого выражения видно, что длина пробега зависит только от плотности газа — обратно пропорциональна ей.

Следует, однако, иметь в виду, что последнее утверждение справедливо лишь постольку, поскольку эффективное сечение считается постоянным. Благодаря очень быстро возрастающим при сближении молекул силам отталкивания молекулы обычно ведут себя, качественно, как твердые упругие частицы, взаимодействующие лишь при непосредственном «задевании» друг друга. В этих условиях эффективное сечение столкновений действительно является некоторой постоянной (зависящей только от рода молекул) величиной. Однако между молекулами действуют также и слабые силы притяжения, когда они находятся на больших расстояниях. При понижении температуры скорости молекул газа уменьшаются, а тем самым увеличивается время, в течение которого длится столкновение двух проходящих (на заданном расстоянии) друг мимо друга молекул. За счет этого «удлинения» столкновений движение молекул может сильно измениться, даже если они проходят сравнительно далеко друг от друга. Поэтому при понижении температуры эффективное сечение столкновений несколько увеличивается. Так, у азота и кислорода о увеличивается примерно на 30% при понижении температуры от +100° С до —100° С, у водорода — на 20%.

Для воздуха при 0° С и атмосферном давлении «»3 -1019. Эффективное сечение ow5-10~15 см2, следовательно, длина пробега молекул /?»10~5 см. Средняя тепловая скорость молекул г^бЛо4 см/сек, соответственно чему время между столкновениями т»2-10~10 сек. Длина пробега быстро возрастает с уменьшением давления. Так, при давлении воздуха в 1 мм рт. ст. длина пробега /»10~2 см; в высоком вакууме, при давлениях порядка 10~6 мм рт. ст. длина пробега достигает десятков метров.