§113. Диффузия и теплопроводность в газах

Используя понятие о длине свободного пробега, можно определить порядок величины коэффициентов диффузии и теплопроводности в газах и выяснить характер их зависимости от состояния газа. Начнем с коэффициента диффузии.

Рассмотрим смесь двух газов, общее давление которой везде одинаково, а состав меняется вдоль одного направления, которое выбираем в качестве оси х.

Будем рассматривать один из газов (газ 1) в смеси, и пусть пх— число его молекул в единице объема; это число есть функция координаты х. Диффузионный поток j представляет собой избыток числа молекул, проходящих за 1 сек в положительном направлении оси х через перпендикулярную ей единичную площадку, над числом молекул, проходящих через эту же площадку в отрицательном направлении.

Число молекул, проходящих в 1 сек через площадку в 1 см2, по порядку величины равно произведению nxv, где t> — средняя тепловая скорость молекул. При этом можнс считать, что число молекул, пересекающих эту площадку слева направо, определяется значением плотности пх в том месте, где молекулы испытали свое последнее столкновение, т. е. на расстоянии I слева от площадки; для молекул же, проходящих справа налево, надо взять значение пх на расстоянии I справа от площадки. Если координата самой площадки есть х, то, следовательно, диффузионный поток дается разностью

Поскольку длина пробега / есть малая величина, то разноси пх(х — /) — пх(х+1) можно заменить наТаким образом,

Сравнив это выражение с формулоймы ви-

дим, что коэффициент диффузии в газе по порядку величины равен

Длина пробега l^l/па, где п — полное число молекул обоих газов в единице объема. Поэтому можно написать D также и в виде

Наконец, согласно уравнению состояния идеального газа плотность числа молекул в нем n=p/kT, так что

Таким образом, коэффициент диффузии в газе обратно пропорционален его давлению (при заданной температуре). Поскольку тепловая скорость молекул пропорциональна

У Т, то коэффициент диффузии растет при увеличении температуры пропорционально Т3/' (если можно считать постоянным сечение столкновений).

По поводу изложенного вывода надо сделать следующее замечание. При вычислении j мы рассуждали так, как будто дело шло об одном газе, между тем как в действительности имеется смесь двух газов. Поэтому остается, собственно говоря, неясным, к молекулам какого из двух газов относятся величины а и v. Поскольку речь идет лишь об оценке порядка величины коэффициента диффузии, этот вопрос несуществен, если молекулы обоих газов сравнимы по своим массам и размерам. При большом различии между ними, однако, вопрос может иметь значение. Более детальное рассмотрение показывает, что в таком случае под v надо понимать большую из тепловых скоростей (т. е. скорость молекул меньшей массы), а под о — наибольшее из эффективных сечений.

Наряду со взаимной диффузией газов различного рода может происходить взаимная диффузия различных изотопов одного и того же вещества. Поскольку единственное отличие между их молекулами сводится к сравнительно очень небольшой разнице в массах, то в этом случае мы имеем дело как бы с диффузией собственных молекул газа в нем самом или, как говорят, с самодиффузией. Различие в массах молекул играет при этом фактически лишь роль «отметки», позволяющей отличить одни молекулы от других.

Коэффициент самодиффузии газа определяется той же формулой

в которой теперь уже не возникает никакого вопроса о смысле входящих в нее величин — все величины относятся к молекулам единственного имеющегося газа.

Укажем для примера значения коэффициента диффузии в некоторых газовых смесях при атмосферном давлении и 0° С (в единицах см2/сек):

Диффузия в газах происходит гораздо быстрее, чем в жидкостях. Для сравнения укажем, например, что коэффициент диффузии сахара в воде (при комнатной температуре) составляет всего 0,3-Ю-5 см2/сек, NaCl в воде — 1,Ы0-5 см2/сек.

Интересно сравнить истинное расстояние, проходимое молекулами газа в их тепловом движении, с величиной их среднего упорядоченного смещения при диффузии. Так, молекулы воздуха (в нормальных условиях) проходят в 1 сек расстояния порядка 5-Ю4 см .Диффузионное же смещение за 1 сек составляет по порядку величины всего

Определение коэффициента теплопроводности газа, по существу, не требует новых вычислений. Достаточно обратить внимание на отмеченную в § 109 аналогию между процессами теплопроводности и диффузии: теплопроводность представляет собой «диффузию энергии», причем роль коэффициента диффузии D играет коэффициент температуропроводности %. В данном случае оба процесса осуществляются одним и тем же механизмом — непосредственным переносом молекулами газа. Поэтому можно утверждать, что по порядку величины коэффициент температуропроводности совпадает с коэффициентом самодиффузии газа, т. е.

Коэффициент же теплопроводности и получается умножением % на теплоемкость 1 см3 газа. В этом объеме содержится n/N0 грамм-молекул газа (N0— число Авогадро), и потому его теплоемкость есть nc/N0, где с — молярная теплоемкость (писать ли здесь ср или cv— безразлично, поскольку они не отличаются друг от друга по порядку величины).

Таким образом, и, подставив /— 1/«а, получим окончательно

Молярная теплоемкость газа не зависит от его плотности. Поэтому мы приходим к замечательному, на первый взгляд парадоксальному, результату: теплопроводность газа зависит только от его температуры, но не зависит от его плотности или давления.

Теплоемкость газа мало зависит от температуры; то же самое относится и к эффективному сечению. Поэтому можно считать, что коэффициент теплопроводности газа (вместе с тепловой скоростью v) пропорционален У Т. В действительности теплопроводность растет с температурой несколько быстрее, потому что с повышением температуры обычно повышается теплоемкость и уменьшается эффективное сечение.

Приведем для примера значения коэффициента теплопроводности некоторых газов при 0° С (в единицах дж/см -сек -град):