§ 114. Подвижность

Рассмотрим газ, содержащий некоторое количество заряженных частиц — ионов. Если поместить этот газ в электрическое поле, то на хаотическое тепловое движение ионов, совершаемое ими вместе с другими молекулами газа, наложится упорядоченное движение в направлении поля. Если бы ионы были полностью свободными частицами, то под влиянием приложенного поля они двигались бы со все возрастающей скоростью. В действительности, однако, ионы движутся как свободные лишь в промежутках между столкновениями с другими частицами газа. При столкновениях же частицы рассеиваются хаотическим образом, так

что ионы практически теряют приобретенную ими между столкновениями упорядоченную скорость. В результате установится движение, при котором ионы будут в среднем медленно перемещаться (или, как говорят, дрейфовать) в направлении поля с некоторой определенной скоростью, пропорциональной напряженности поля.

Порядок величины этой скорости (обозначим ее через и) легко оценить следующим образом. На ион с зарядом е и массой т в электрическом поле с напряженностью Е действует сила F=eE, сообщающая иону ускорение w=F/m. Двигаясь с этим ускорением в течение времени свободного пробега т, ион приобретает направленную скорость порядка величины u~wx. Положив x~l/v (где v — скорость теплового движения ионов), получим

Дрейфовую скорость и, приобретаемую ионами под влиянием внешнего поля, принято записывать в виде

коэффициент пропорциональности К между скоростью и действующей на частицы силой F называют подвижностью иона.

Укажем для примера значения подвижности для некоторых ионов в газах (при 20° С и атмосферном давлении):

Это значит, например, что под влиянием поля в 1 е/амионы

N+2 в азоте дрейфуют со скоростью 1,7-1012 ■ 4,8-10~10 • ^ = =3 см/сек.

Из полученной выше оценки скорости и видно, что K~l/mv. Сравнив это выражение с коэффициентом диффузии тех же частиц (ионов) в ra3eD~fo, мы видим, что D~mv2K, а так как mv2~kT, то

Покажем, что такого рода связь между коэффициентом диф-

фузии и подвижностью частиц существует и в виде точного соотношения.

Согласно формуле Больцмана в состоянии теплового равновесия концентрация ионов в газе, находящемся в постоянном внешнем электрическом поле' (направление которого выберем за ось х), пропорциональна .

где U(x)=—Fx — потенциальная энергия иона в поле; она меняется вдоль объема газа, увеличиваясь в направлении действия поля. Но при наличии градиента концентрации должен возникнуть диффузионный поток

Определим концентрацию с как число ионов в единице объема газа; написав ее в виде

и замечая,что, получим

Но в стационарном (равновесном) состоянии никакого переноса вещества в газе не может быть. Это значит, что направленный противоположно полю диффузионный поток / как раз компенсируется направленным вдоль поля «дрейфовым» потоком ионов; последний равен, очевидно, cu=cKF. Приравняв оба выражения, получим

Это соотношение между подвижностью и коэффициентом диффузии (называемое соотношением Эйнштейна), выведенное нами для газов, имеет в действительности общий характер. Оно относится к любым растворенным или взвешенным в газе или жидкости частицам, движущимся под влиянием какого-либо внешнего поля (электрического поля, поля тяжести).