§ 119. Формула Пуазейля

Применим формулудля решения некоторых

простых задач, связанных с течением вязкой жидкости.

Начнем с вычисления силы трения, возникающей между двумя движущимися друг относительно друга параллельными твердыми • плоскостями, промежуток между которыми заполнен жидкостью с вязкостью п. Пусть и0 есть скорость этого движения, a h — расстояние между плоскостями (на рис. 1 нижняя плоскость покоится, а верхняя движется со скоростью «„). «Примыкающая» к стенкам жидкость увлекается ими, так что скорость течения жидкости у нижней и верхней стенок равна соответственно нулю и и0. В промежутке между стенками скорость и меняется по линейному закону

где х — расстояние от нижней стенки (этот закон получается так же, как в совершенно аналогичной задаче о теплопроводности в плоском слое, см. § по). Искомая сила трения, действующая на 1 см2 поверхности каждой из твердых плоскостей и стремящаяся замедлить их относительное движение, дается величиной потока импульса П, как это было объяснено в § 117. Она равна

т. е. пропорциональна скорости плоскостей и0 и обратно пропорциональна расстоянию между ними.

Рассмотрим, далее, течение жидкости по цилиндрической трубке с радиусом а и длиной L. Давления р± и рг,

поддерживаемые на концах трубки, различны; жидкость течет по трубке под влиянием перепада давлений Ар=р2—рх. Скорость и течения жидкости направлена везде вдоль оси трубки, а по величине меняется в перпендикулярном оси (радиальном) направлении в зависимости лишь от одной координаты — расстояния г от оси. Мы можем поэтому написать для потока импульса, переносимого в радиальном направлении, выражение

Рассмотрим объем жидкости, ограниченный проведенной внутри трубки коаксиальной с ней цилиндрической поверхностью некоторого радиуса г. Полный поток импульса через эту поверхность (площадь которой есть 2nrL) равен

Это и есть сила трения, действующая на рассматриваемый объем жидкости со стороны остальной жидкости. Она компенсируется силой перепада давлений (приложенных к основаниям цилиндра), равной пг2Ар. Приравнивая эти силы, получим уравнение

откуда

Произвольная постоянная определяется из условия равенства нулю скорости на самой поверхности трубки, т. е. при r=a. Окончательно получаем

Таким образом, текущая в трубке жидкость имеет, как говорят, параболический профиль скоростей: скорость меняется по квадратичному закону от нуля на стенке до максимального значения (uMaKC=a2Ap/4Lr|) на оси трубки (рис.2).

Определим количество (массу М) жидкости, вытекающей в единицу времени из трубки. Обозначим через V(r) объем жидкости, вытекающей в единицу времени через цилиндр

радиуса г. Очевидно, что дифференциал этой функции

где и(г) — скорость жидкости на расстоянии г от оси, а dS — площадь кольца радиуса г и ширины dr. Поскольку dS=2nrdr, то

Отсюда

(произвольная постоянная положена равной нулю, поскольку должно быть V(0)=0). Полный объем жидкости, вытекающей из трубки за 1 сек, есть значение V(r) при г=а. Умножив его на плотность жидкости р, найдем искомую массу

Эта формула называется формулой Пуазейля. Мы видим, что количество вытекающей из трубки жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубки.

Рассмотренные примеры относятся к числу стационарных течений жидкости — скорость жидкости в каждом месте потока постоянна во времени. Упомянем здесь один пример нестационарного движения.

Предположим, что погруженный в жидкость диск совершает крутильные колебания в своей плоскости; увлекаемая диском жидкость тоже приходит в колебательное движение. Эти колебания, однако, затухают по мере удаления от диска, и возникает вопрос о порядке величины расстояния, на котором происходит существенное затухание. Этот вопрос формально не отличается от рассмотренного в § 111 аналогичного вопроса для тепловых колебаний, создаваемых пластинкой с переменной температурой. Мы получим искомую «глубину проникновения» L колебательного движения в жидкость, заменив в найденной в § 111 формуле коэффициент     температуропроводности    % кинематической

375

вязкостью жидкости v:

где о — частота колебаний.