§ 120. Метод подобия

Мы рассмотрели простейшие задачи о движении жидкости. В более сложных случаях точное решение задачи наталкивается обычно на очень большие математические трудности и, как правило, оказывается невозможным. Например, не может быть решена в общем виде задача о движении в жидкости тела даже такой, казалось бы, простой формы, как шар.

В связи с этим при исследовании различных вопросов о движении жидкости приобретают большое значение простые методы, основанные на соображениях о размерности тех физических величин, от которых это движение может зависеть.

Рассмотрим, например, равномерное движение твердого шара через жидкость, и пусть задача заключается в определении испытываемой шаром силы сопротивления F. [Вместо того чтобы говорить о движении тела через жидкость, можно было бы говорить и о вполне эквивалентной задаче об обтекании неподвижного тела потоком жидкости; такая постановка задачи отвечает наблюдениям над обтеканием тел потоком газа в аэродинамической трубе.]

Физические свойства жидкости, определяющие ее течение или движение в ней посторонних тел, характеризуются всего двумя величинами: ее плотностью р и коэффициентом вязкости г|. Кроме того, в рассматриваемом случае движение зависит еще от скорости шара и и от его радиуса а.

Таким образом, в нашем распоряжении имеется всего четыре параметра со следующими размерностями:

Составим из них безразмерную величину. Прежде всего, исключить размерность г можно лишь одним способом — разделив г| на р, т. е. образовав отношение v=ri/p с размерностью [х]=см*(сек. Далее, для исключения размерности

сек делим и на v: [и/\]~\/см. Безразмерную величину мы получим, умножив отношение u/v на радиус а. Эту величину обозначают символом Re

и называют числом Рейнольдса; она является очень важной характеристикой движения жидкости. Очевидно, что всякая другая безразмерная величина может быть только функцией числа Рейнольдса.

Вернемся к определению силы сопротивления. Она имеет размерность г -см/сек2. Величиной с такой размерностью, составленной из тех же параметров, является, например, р«2а2. Всякая другая величина той же размерности может быть представлена в виде произведения ра2о2 на некоторую функцию безразмерного числа Рейнольдса. Поэтому можно утверждать, что искомая сила сопротивления выражается формулой вида

Разумеется, неизвестная функция /(Re) не может быть определена из соображений размерности. Но мы видим, что с помощью этих соображений нам удалось свести задачу об определении функции четырех параметров — силы F в зависимости от р, r|, и и а — к задаче об определении всего одной функции /(Re). Эта функция может быть определена, например, экспериментально. Измерив силу сопротивления, испытываемую каким-либо одним шариком в какой-либо одной жидкости, и построив по полученным данным график функции /(Re), мы тем самым получим возможность узнать силу сопротивления для движения любого шара в любой жидкости.

Изложенные соображения имеют общий характер и относятся, конечно, к стационарному движению в жидкости тел не только шарообразной, но и любой другой формы. Под величиной а в числе Рейнольдса надо при этом понимать какой-либо линейный размер тела заданной формы, и мы получаем возможность сравнивать течения жидкости вокруг геометрически подобных тел, отличающихся лишь своими размерами.

Движения, отличающиеся значениями параметров р, tj, и, а при одинаковом значении числа Рейнольдса, называют

подобными. Вся картина движения жидкости в таких случаях отличается лишь масштабами всех своих характеристик: расстояний, скоростей и т. д.

Хотя мы для краткости говорим все время о жидкости, но все сказанное относится и к газам. Единственное условие, которое подразумевается выполненным,— что плотность среды (жидкости или газа) в процессе движения не испытывает сколько-нибудь заметного изменения, так что ее можно Считать постоянной; в таких случаях движущуюся среду называют несжимаемой. Хотя с обычной точки зрения газ является легко сжимаемой средой, но те изменения давления, которые возникают в газе при его движении, обычно недостаточны для сколько-нибудь существенного изменения его плотности. Газ перестает вести себя как несжимаемая среда лишь при скоростях, сравнимых со скоростью звука.