§121. Формула Стокса

Вернемся снова к силе сопротивления F, испытываемой движущимся в жидкости (или газе) телом.

При достаточно малых скоростях движения сила сопротивления всегда пропорциональна первой степени скорости. Для того чтобы получить такую зависимость из формулы

мы должны считать, что при малых скоростях функция /(Re) имеет вид /(Re)=const/Re. Тогда мы получим

Мы видим, что из пропорциональности силы сопротивления скорости движения автоматически следует также и ее пропорциональность линейным размерам тела (и коэффициенту вязкости жидкости).

Определение коэффициента пропорциональности в этом законе требует более детальных вычислений. Для движения шара в жидкости оказывается, что const=6jt, т. е.

где о — радиус шара (эта формула называется формулой Стокса).

Изложенное выше рассуждение позволяет указать более точно, что именно подразумевается под «достаточной малостью» скорости движения, обеспечивающей применимость формулы Стокса. Поскольку речь идет о виде функции /(Re), то искомое условие должно относиться к значениям числа Рейнольдса, а поскольку число Re и скорость и (при заданных размерах тела) пропорциональны друг другу, то ясно, что условие малости скорости должно быть выражено в виде условия малости безразмерного числа Re:

Отсюда видно, что условие «достаточной малости» скорости имеет относительный характер. Фактическая величина допустимых скоростей зависит от размеров движущегося тела (и от вязкости жидкости). При очень малых размерах (например, для взвешенных в жидкости мельчайших частиц, совершающих броуновское движение) формулу Стокса можно применять и для скоростей, которые с других точек зрения уже нельзя было бы считать малыми.

Если шар движется в жидкости под влиянием действующей на него внешней силы Р (например, силы тяжести с учетом частичной потери веса в жидкости), то, в конце концов, установится равномерное движение с такой скоростью, при которой сила Р как раз компенсирует силу сопротивления. Из равенства P=F находим, что эта скорость равна

Этой формулой часто пользуются для определения вязкости жидкости по измерению скорости падения в ней твердого шарика. Вязкость можно определять и с помощью формулы Пуазейля, измеряя скорость вытекания жидкости из трубки, по которой она прогоняется определенной разностью давлений.

С формулой Стокса связан метод измерения элементарного заряда, впервые примененный Милликеном для измерения заряда электрона. В этих опытах мельчайшие капельки, получаемые путем распыления жидкого масла, вводились в пространство между горизонтальными обкладками плоского конденсатора. Капельки несут на себе заряд, при-

обретаемый ими в результате электризации при распылении или путем поглощения ионов из воздуха. Наблюдая в микроскоп падение капельки под действием одного только ее веса и определив ее скорость, с помощью формулы Стокса можно вычислить радиус, а с ним и массу капельки (плотность которой известна). Подбирая затем надлежащую разность потенциалов на обкладках конденсатора, можно добиться остановки капельки — направленная вниз сила тяжести компенсируется направленной вверх электрической силой, действующей на заряженную капельку. Зная вес капли и напряженность электрического поля, можно вычислить заряд капли. Такие измерения показывают, что заряд капелек всегда оказывается равным целому кратному от некоторой определенной величины: эта величина, очевидно, и представляет собой элементарный заряд.