§ 8. Размерность физических величин

Все физические величины измеряются определенными единицами. Измерить какую-либо величину — это значит определить ее отношение к другой величине того же рода, условно принятой за единицу.

В принципе, для каждой физической величины можно выбрать произвольную единицу. Однако можно, используя зависимости между различными физическими величинами, ввести только ограниченное число произвольных единиц для некоторых величин, принятых за основные, а для других величин построить единицы, связанные с основными единицами. Такие единицы называются производными.

В качестве основных величин в физике принимают длину, время и массу.

Единицей длины в физике служит сантиметр (см), равный одной сотой метра, который определяется в настоящее время как длина, равная 1 650 763,73 длин волн света, соответствующего определенной (оранжевой) линии в спектре газа криптона.

Первоначально метр был определен как одна десятимиллионная часть четверти парижского меридиана и по измерениям, произведенным в 1792 г., был построен эталон метра. Так как воспроизведение эталона метра, основанное на его «естественном» определении, крайне затруднительно, то впоследствии условились определять метр как длину некоторого эталона — платино-иридиевого прототипа метра, хранящегося в Международном Бюро мер и весов в Париже. Однако в настоящее время отказались и от этого определения метра как «штриховой меры» и приняли указанное

выше определение «светового» метра. Благодаря этому эталону единице длины возвращается характер естественной неуничтожаемой меры длины и, кроме того, создается возможность существенно повысить точность воспроизведения эталона метра.

Для измерения малых длин применяются следующие единицы: микрон, 1 /к/сж=10~4 см; миллимикрон, 1 ммкм= = Ю-7 см; ангстрем, 1 А= Ю-8 см; ферми, 1 ферми= Ю-13см.

В астрономии расстояния измеряются световыми годами — расстоянием, проходимым светом за один год. Световой год равен 9,46 -1017 см. Расстояние, равное 3,25 световых лет или 3,08 -1018 см, называется парсеком. На таком расстоянии диаметр земной орбиты виден под углом в 1".

Время в физике измеряется в секундах. Секунда (сек) определяется в настоящее время как определенная часть определенного тропического года (1900 г.). Тропический год — это промежуток времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через точку весеннего равноденствия. Указание на 1900 г. объясняется тем, что продолжительность тропического года не является неизменной и уменьшается примерно на 0,5 сек за столетие.

Первоначально секунда определялась как некоторая

часть солнечных суток ^-gg^p их часть    Однако суточное

вращение Земли происходит неравномерно и продолжительность суток не является неизменной. Относительные колебания продолжительности суток составляют около 10"7. Эта величина при современном состоянии техники слишком велика, чтобы можно было базировать определение единицы времени на суточном вращении Земли. Относительные колебания в продолжительности тропического года меньше, но и определение секунды, основанное на вращении Земли вокруг Солнца, нельзя считать вполне удовлетворительным, так как, пользуясь им, нельзя воспроизвести достаточно точно «эталон» единицы времени. Эта трудность отпадет только в том случае, если определение секунды будут базировать не на движении Земли, а на периодических движениях, протекающих в атомах. Секунда станет тогда столь же естественной физической единицей времени, как «световой» сантиметр стал естественной единицей длины.

Масса в физике измеряется, как уже упоминалось выше, в граммах. Один грамм представляет собой одну тысячную часть массы эталона килограмма, хранящегося в Парижской палате мер и весов.

Первоначально масса килограмма определялась как масса одного кубического дециметра воды при 4° С, т. е. при температуре, когда вода имеет наибольшую плотность. Однако сохранить это определение, так же как и первоначальное определение метра, оказалось невозможным ввиду возрастания точности измерений: при сохранении первоначальных определений пришлось бы все время менять основные эталоны. В настоящее время 1 см3 дистиллированной воды весит при 4° С не 1 г, а 0,999972 г.

Однако и определение килограмма как массы некоторого эталона килограмма страдает теми же недостатками, что и определение метра как «штриховой» меры. Наиболее естественным было бы определять грамм, базируясь не на массе эталона килограмма, а на массе какого-либо атомного ядра, например массе протона.

Разъясним теперь, как строятся производные единицы. Рассмотрим несколько примеров.

В качестве единицы скорости можно было бы взять произвольную скорость (например, среднюю скорость движения Земли вокруг Солнца или скорость света) и к этой скорости, как к единице, относить все прочие скорости, но можно воспользоваться определением скорости как отношения пути ко времени и в качестве единицы скорости принять скорость движения, при котором за одну секунду проходится путь, равный одному сантиметру. Для этой

единицы применяется обозначение   1      . Символ см/сек

называется размерностью скорости при основных единицах — сантиметре для длины и секунде для времени. Размерность скорости записывается так:

Так же обстоит дело и с ускорением. За единицу ускорения можно было бы принять любое ускорение (например, ускорение свободно падающего тела), но можно воспользоваться определением ускорения как изменения скорости в единицу времени и взять в качестве единицы ускорения

такое ускорение, при котором за одну секунду происходит изменение скорости на 1       . Для этой единицы ускорения

применяется обозначение 1 -~. Символ ~^ представляет собой размерность ускорения:

Определим теперь размерность силы и установим единицу для силы. Воспользуемся для этого определением силы как произведения массы на ускорение. Применяя для размерности какой-либо физической величины F обозначение [F], получим следующее выражение для размерности силы:

В качестве единицы силы мы можем взять 1 • Эта сила называется диной. Она представляет собой силу, сообщающую массе в 1 г ускорение, равное 1 .

Таким образом, используя зависимости между различными величинами, можно выбрать единицы для всех физических величин, исходя из некоторого числа величин, принимаемых за основные, для которых единицы выбираются произвольно. Система физических единиц с основными единицами — сантиметром для длины, граммом для массы и секундой для времени — называется физической системой единиц или системой СГС (CGS).

Не следует, однако, думать, что наличие именно трех произвольных основных единиц в этой системе имеет какой-либо глубокий физический смысл. Оно связано лишь с практическим удобством системы, построенной на этих единицах. В принципе же можно построить систему единиц и с другим числом единиц, выбираемых произвольно (мы вернемся еще к этому вопросу в § 22).

С размерностями можно оперировать так же, как если бы они были простыми алгебраическими величинами, т. е. проделывать с ними те же действия, что и с числами. Размерности обеих частей любого равенства, содержащего различные физические величины, должны быть, очевидно,

одинаковыми. Это обстоятельство следует иметь в виду при проверке формул.

Часто из физических соображений бывает известно, что одна какая-либо физическая величина может зависеть только от некоторых определенных других величин. Во многих случаях при этом удается из одних только соображений размерности определить характер искомых зависимостей. Ниже мы познакомимся с примерами такого рода.

Наряду с системой единиц СГС часто используются другие системы, в которых для массы и длины берутся большие, чем г и см, основные единицы. Международная система единиц СИ (SI) основана на единицах: метр для длины, килограмм для массы и секунда для времени. Единица силы в этой системе называется -ньютоном (н):

В технических расчетах сила обычно измеряется в других единицах — килограммах (кГ). Это есть сила, с которой масса в I кг притягивается к Земле на уровне моря на 45° широты. Она равна

(более точно 980 665 дин).