§ 9. Движение в однородном поле

Если на частицу в каждой точке пространства действует определенная сила, то всю эту совокупность сил называют силовым полем.

В общем случае силы поля могут меняться от одной точки пространства к другой и зависеть также от времени.

Рассмотрим простейший случай движения материальной точки в однородном и постоянном поле, когда силы поля имеют повсюду одинаковую величину и неизменное направление и не зависят от времени. Таково, например, поле притяжения Земли на участках, малых по сравнению с ее радиусом.

Из уравнения движения материальной точки

при F=const следует, что

где v0— начальная скорость материальной точки. Таким образом, в однородном и постоянном поле скорость является линейной функцией времени.

Полученное для v выражение показывает, что движение материальной точки происходит в плоскости, образованной вектором силы F и вектором начальной скорости v0. Примем эту плоскость за координатную плоскость х, у и направим ось у вдоль направления силы F. Уравнение, определяющее скорость частицы v, разобьется на два уравнения для проекций скорости vx и vy:

где vх0 и vy0 — начальные значения проекций скорости.

Вспоминая, что проекции скорости равны производным по времени от соответствующих координат частицы, перепишем последние выражения в виде

Отсюда следует, что

—*-х

где х0 и у0 — начальные значения координат материаль ной точки. Этими выражениями определяется траектория движения частицы. Они упрощаются, если условиться отсчитывать время от момента, когда проекция скорости vy обращается в нуль; тогда £^0=0. Выбрав также начало координат в точке, где находится частица в этот момент, будем иметь хо=у0~0. Наконец, обозначив величину vx0, совпадающую теперь с начальным значением величины скорости, просто как v0, получим

Исключая отсюда t, найдем

т. е. уравнение параболы (рис. 6). Таким образом, в однородном поле частица движется по параболе.