§10. Работа и потенциальная энергия

Рассмотрим движение материальной точки в некотором силовом поле F. Если под действием силы F материальная точка прошла бесконечно малый путь ds, то величина

где 6 — угол между векторами F и ds, называется работой силы F на пути ds. Произведение абсолютных величин двух векторов а и & на косинус угла между ними называется скалярным произведением этих векторов и обозначается ah. Поэтому работу можно определить как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения частицы:

Это выражение можно записать также в виде

где Fs— проекция силы F на направление перемещения частицы ds.'

Для того чтобы определить работу сил поля не на бесконечно малом, а на конечном пути частицы, нужно разбить этот путь на бесконечно малые участки ds и, определив работу па каждом элементарном участке, сложить все эти работы. Эта сумма даст работу сил поля на всем пути.

Из определения работы следует, что сила, направленная перпендикулярно пути, не производит работы. В частности, при равномерном движении материальной точки по окружности работа сил равна нулю.

Постоянное силовое поле, т. е. поле, не зависящее от времени, обладает следующим замечательным свойством: если в таком поле материальная точка движется по замкнутому пути, так что в результате движения точка возвращается в исходное положение, то работа, совершаемая при этом силами поля, будет равна нулю.

Из этого свойства следует и другое утверждение: работа сил поля при переносе частицы из одного положения в другое не зависит от вида пути, по которому происходит перенос, а определяется только положением начальной и конечной точек переноса. Действительно, рассмотрим две точки 1 и 2 и соединим их двумя кривыми а и b (рис. 7). Предположим, что частица переводится из точки / в точку^ 2 вдоль кривой а и затем из точки 2 назад в точку 1 по кривой Ь. Общая работа, которая производится при этом силами поля, равна нулю. Обозначая работу буквой А, мы можем написать

При изменении направления переноса

работа, очевидно, меняет знак, поэтому из написанного

равенства следует

т. е. работа не зависит от вида кривой, соединяющей начальную и конечную точки перехода 1 и 2.

Так как работа сил поля не зависит от вида пути переноса, а определяется только конечными точками пути, то ясно, что она является величиной, имеющей глубокое физическое содержание. С ее помощью можно определить важную характеристику силового поля. Примем для этого какую-либо точку пространства, которую обозначим через О, за начало отсчета и будем рассматривать работу, совершаемую силами поля при переходе частицы из этой точки в какую-либо произвольную точку Р. Обозначим эту работу через — U. Величина U, т. е. взятая с обратным знаком работа при переходе частицы из точки О в точку Р, называется потенциальной энергией частицы в точке Р. Она является функцией координат х, у, г точки Р:

Работа же сил поля Л1а при переходе частицы из какой-либо произвольной точки / в точку 2 равна

где V\ и II.2 — значения потенциальной энергии в этих

точках. Работа равна разности потенциальных энергии в начальной и конечной точках пути.

Рассмотрим две бесконечно близкие точки Р и Р'. Работа сил поля при переходе "частицы из точки Р в точку Р' будет —dU. С другой стороны, эта работа равна F ds, где ds— вектор, проведенный из Р в Р'; как было указано уже в §2, вектор ds совпадает с разностью йг радиусов-векторов точек Р' и Р. Таким образом, мы приходим к равенству

Это соотношение между силой и потенциальной энергией является одним из основных соотношений механики.

Написав F dr=F ds=F^ds, можно представить это соотношение в виде

Это значит, что проекция силы на некоторое направление получается делением бесконечно малого изменения dU потенциальной энергии на бесконечно малом отрезке вдоль этого направления на длину ds этого отрезка. Выражение

dU       „ ,,

-J- называют производной от и по направлению s.

Для пояснения этих соотношений определим потенциальную энергию в постоянном однородном поле. Примем направление силы поля F за ось г. Тогда Fdr=F dz; приравнивая это выражение изменению потенциальной энергии, получим —d(J=F dz, откуда

Мы видим, что потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Это обстоятельство имеет общий характер и связано с произволом в выборе исходной точки поля О, от которой отсчитывается произведенная над частицей работа. Обычно принято произвольную постоянную в выражении для U выбирать так, чтобы потенциальная энергия частицы обращалась в нуль, когда частица находится на бесконечном расстоянии от других тел.

Из формул, связывающих проекции силы с потенциальной энергией, можно сделать заключение о направлении силы. Если в некотором направлении потенциальная энер-

(dU гЛ

гия возрастает ( >0 1, то проекция силы на это направление будет отрицательной, т. е. сила будет иметь то направление, в котором потенциальная энергия убывает. Сила всегда направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.

Так как производная обращается в нуль в точках, где функция достигает максимума или минимума, то сила в местах максимума и минимума потенциальной энергии равна нулю.