§11. Закон сохранения энергии

Тот факт, что работа, совершаемая силами постоянного поля при переходе частицы из одной точки в другую, не зависит от вида пути, по которому происходит переход, приводит к чрезвычайно важному соотношению — закону сохранения энергии.

Чтобы получить это соотношение, напомним, что действующая на частицу сила F равна

Так как проекция ускорения на направление движения равна ~, то проекция силы на это направление будет

Определим теперь работу этой силы на бесконечно малом пути ds—v dt:

или

Таким образом работа, совершаемая силой, равна увели-

/7Ш2 ~

чению величины —g— . Эта величина называется кинетической анергией частицы.

С другой стороны, работа равна убыли потенциальной энергии, dA=—dU. Поэтому мы можем написать равенство

т. е.

Обозначая стоящую здесь сумму буквой Е, имеем, следовательно,

Таким образом, сумма кинетической энергии частицы, зависящей только от ее скорости, и потенциальной энергии, зависящей только-от ее координат, не меняется при движении частицы. Эта сумма носит название полной энергии или просто энергии частицы, а полученное соотношение называется законом сохранения энергии.

Силовое поле, в котором движется частица, создается какими-то другими телами. Для того чтобы поле было постоянным, эти тела должны быть неподвижными. Таким образом, мы получили закон сохранения энергии в простей- . шем случае, когда одна частица движется, а все остальные тела, с которыми она взаимодействует, покоятся. Но закон сохранения энергии может быть сформулирован и в общем случае, когда имеется ряд движущихся частиц. Если эти частицы образуют замкнутую систему, то для них также справедлив закон сохранения энергии, согласно которому сумма кинетических энергий всех материальных точек в отдельности и их взаимной потенциальной энергии не меняется с течением времени, т. е.

где т,- — масса i-й частицы, о,-— ее скорость и U — потенциальная энергия взаимодействия частиц, зависящая от их радиусов-векторов г,-.

Функция U связана с действующими на каждую из частиц силами аналогично тому, как это имеет место для одной частицы во внешнем поле. Именно, для определения силы Fh действующей на i-ю частицу, надо рассмотреть изменение потенциальной энергии U при бесконечно малом смещении йГ; этой частицы при неизменном расположении всех остальных частиц. Производимая при таком смещении над частицей работа F,dr,- равна соответствующей убыли потенциальной энергии.

Закон сохранения энергии справедлив для всякой замкнутой системы и наряду с законом сохранения импульса является одним из важнейших законов механики. В силу своего общего характера он применим ко всем явлениям.

Кинетическая энергия есть величина существенно положительная. Потенциальная же энергия взаимодействия частиц может быть как положительной, так и отрицательной. Если потенциальная энергия двух частиц определена так, чтобы она равнялась нулю, когда частицы находятся на большом расстоянии друг от друга, то ее знак зависит от характера взаимодействия частиц: имеет ли оно характер притяжения или отталкивания. Поскольку действующие на частицы силы всегда направлены в сторону уменьшения потенциальной энергии, то сближение притягивающихся частиц приводит к уменьшению потенциальной энергии, которая оказывается, таким образом, отрицательной величиной. Потенциальная же энергия отталкивающихся частиц, напротив, положительна.

Энергия (и работа) имеет размерность

Поэтому единицей энергии в системе СГС является 1 гсм2 ;

эта единица называется эргом. Эрг представляет собой работу, совершаемую на пути в 1 см силой, равной 1 дин.

В системе СИ пользуются большей единицей энергии, называемой джоулем (дж). Джоуль представляет собой работу силы в 1 к на пути в 1 м:

Если в качестве единицы силы пользоваться килограммом, то соответствующей единицей энергии будет килограммометр (кГм) — работа, производимая силой 1 кГ на пути в 1 м. Он связан с джоулем соотношением 1 кГм = 9,8 дж.

Источники энергии характеризуются работой, совершаемой в единицу времени. Эта работа называется мощностью. Единицей мощности служит ватт (вт):

Работа, совершаемая в течение одного часа источником энергии, мощность которого равна 1 вт, называется ватт-часом (вт-ч). Легко видеть, что