§ 13. Границы движения

Если движение материальной точки ограничено таким образом, что она может двигаться лишь вдоль определенной кривой, то говорят о движении с одной степенью свободы, или об одномерном движении. Для задания положения частицы в таком случае достаточно всего одной координаты; в качестве таковой можно выбрать, например, расстояние вдоль кривой от некоторой точки, выбираемой в качестве начала отсчета. Обозначим эту координату буквой х. Потенциальная энергия частицы, совершающей одномерное движение, есть функция всего одной этой координаты: U=U(x).

Согласно закону сохранения энергии имеем

а так как кинетическая энергия не может принимать отрицательных значений, то должно выполняться неравенство

Это неравенство означает, что частица при своем движении может находиться только в тех местах, где потенциальная энергия не превосходит полной энергии. Если мы приравняем эти энергии, то получим уравнение

для определения граничных положений материальной точки.

Приведем несколько характерных примеров. Начнем с потенциальной энергии, имеющей, как функция координаты х, вид, изображенный на рис. 8. Для того чтобы найти границы движения частицы в таком силовом поле в зависимости от полной энергии частицы Е, проведем параллельно оси х прямую U = Е. Эта прямая пересекает кривую потенциальной энергии U = U(x) в двух точках, абсциссы которых обозначены через хх и х2. Для возможности движения необходимо, чтобы потенциальная энергия была не больше полной энергии. Это значит, что движение частицы с энергией Е может происходить только между точками хх и хг, в области же справа от х2 и слева от хг частица с энергией Е попасть не может.

Движение, при котором частица остается в конечной области пространства, называется финитным, если же она может удаляться сколь угодно далеко, то говорят об инфи-нитном движении.

Область финитности зависит, очевидно, от энергии. В рассматриваемом примере она уменьшается с уменьшением энергии и стягивается в одну точку х0 при E=UKBH.

В точках хг и х.2 потенциальная энергия равна полной энергии, поэтому в этих точках кинетическая энергия, а с ней и скорость частицы равны нулю. В точке хп потенциальная энергия минимальна, а кинетическая энергия и скорость имеют максимальное значение. Так как сила F связа-

с du

на с потенциальной энергией соотношением F— —, то

между точками х0 и х2 она будет отрицательной, а между точками х0 и хг— положительной. Это значит, что между точками х0 и х2 сила направлена в сторону уменьшения х, т. е. налево, а между точками х0 и хх — направо. Поэтому, если частица начинает двигаться от точки хь где скорость ее равна нулю, то под действием силы, направленной вправо, она будет постепенно ускоряться и достигнет в точке х0 максимальной скорости. Двигаясь далее в области от х0 до х2 под действием силы, направленной теперь влево, частица будет замедляться, пока ее скорость в точке х2 не станет равной нулю. После этого она начнет обратное движение от точки х2 к точке х0. Такое движение будет повторяться все время. Иначе говоря, частица будет совершать периодическое движение, период которого равен удвоенному времени прохождения частицы от точки xY до точки х2.

В точке х0 потенциальная энергия достигает минимума и производная от U по х обращается в нуль; поэтому в этой точке равна нулю сила, и, следовательно, точка х0 является положением равновесия частицы. Это положение, является, очевидно, положением устойчивого равновесия, так как при отклонении частицы от положения равновесия в рассматриваемом случае возникает сила, стремящаяся вернуть частицу назад в положение равновесия. Таким свойством отличаются только точки минимума, а не максимума потенциальной энергии, хотя в последних сила также обращается в нуль. Если отклонить частицу в том или другом направлении из точки максимума потенциальной энергии, то возникающая сила в обоих случаях действует в сторону удаления от этой точки. Поэтому места, где потенциальная энергия достигает максимума, являются положениями неустойчивого равновесия.

Рассмотрим теперь движение частицы в более сложном поле, кривая потенциальной энергии которого имеет вид, изображенный на рис. 9. Эта кривая имеет как минимум, так и максимум. Если частица имеет энергию Е, то движение ее в таком поле будет возможно в двух областях: области / между точками хх и хг и области /// справа от точки х3 (в этих точках потенциальная энергия совпадает с полной энергией). Движение в первой области происходит так же,

как и в рассмотренном выше примере, и носит колебательный характер. Движение же в области /// будет инфинит-ным, так как частица может удалиться как угодно далеко направо от точки х3. Если при этом частица начнет свое движение из точки х3, где ее скорость равна нулю, то она будет под действием силы, направленной здесь вправо, все время ускоряться; на бесконечности потенциальная энергия обращается в нуль и скорость частицы достигает значения va>=\r2mE. Если, напротив, частица будет двигаться из бесконечности к точке ха, то ее скорость будет постепенно уменьшаться, пока в точке х3 не обратится в нуль. В этой точке частица должна будет повернуть обратно и уйти снова на бесконечность. Она не сможет проникнуть в область /, так как этому препятствует запретная область //, лежащая между точками хг и хъ. Эта же область не дает возможности частице, совершающей колебания между точками xt и х2, перейти в область ///, где также возможно движение с энергией Е. Эту запретную область называют потенциальным барьером, а область / — потенциальной ямой. С ростом

энергии частицы в рассматриваемом случае ширина барьера уменьшается и, наконец, при Ј^t/MaKC он исчезает. При этом исчезает также область колебательного движения и движение частицы становится инфинитным.

Мы видим, таким образом, что движение частицы в одном и том же силовом поле может быть как финитным, так и инфинитным в зависимости от энергии частицы.

Это обстоятельство может быть проиллюстрировано также на примере движения в поле, кривая потенциальной энергии которого имеет вид, изображенный на рис. 10.

В этом случае положительным энергиям соответствует инфинитное движение, а отрицательным (*/„„„< Е < 0) — финитное движение.

Вообще, если потенци альная энергия обращается

в нуль на бесконечности, то движение с отрицательной энергией будет обязательно финитным, так как на бесконечности нулевая потенциальная энергия превосходит полную энергию; поэтому частица не сможет удалиться в бесконечность.