§14. Упругие столкновения

Законы сохранения энергии и импульса могут быть использованы для установления соотношений между различными величинами при столкновениях тел.

В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами в широком смысле слова, а не буквально как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на бесконечном расстоянии друг от друга являются свободными. Проходя друг мимо друга, они взаимодействуют между собой, в результате чего могут происходить самые различные процессы — тела могут соединиться вместе, могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место

упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими.

Происходящие в обычных условиях столкновения обычных тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими — уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль, так как с такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений. Но и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.

Рассмотрим упругое столкновение двух частиц с массами тх и т2. Обозначим скорости частиц до и после столкновения соответственно через vlt v.2 и v[, v'2. Будем считать, что одна из частиц — пусть это будет частица т2— до столкновения покоилась, т. е. г»2=0.

Поскольку при упругом столкновении внутренние энергии частиц не меняются, то их можно вообще не учитывать при применении закона сохранения энергии, т. е. считать как бы равными нулю. Так как до и после столкновения частицы предполагаются невзаимодействующими, т. е. свободными, то закон сохранения энергии сбодится к сохранению кинетической энергии:

(общий множитель 1/2 мы опустили).

Закон же сохранения импульса выражается векторным равенством

Очень прост случай, когда масса первоначально покоившейся частицы значительно больше массы налетающей, на нее частицы, т. е. т2^>т1. Из формулы

следует, что при т^>ту скорость <о'.г будет очень малой. Аналогичное заключение можно сделать и об энергии этой первоначально покоившейся частицы, так как произведе-

ние m2o'f будет обратно пропорционально массе т2. Отсюда можно заключить, что энергия первой (налетающей) частицы в результате столкновения не изменится, т. е. не изменится и абсолютное значение скорости этой частицы. Таким образом, при столкновении легкой частицы с тяжелой может измениться только направление скорости легкой частицы, величина же ее скорости останется неизменной.

Если массы сталкивающихся частиц одинаковы, то законы сохранения приобретают вид

Первое из этих соотношений показывает, что векторы vlt •о'т, и v'2 образуют треугольник, а из второго соотношения следует, что этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой vy. Таким образом, при столкновении частиц с одинаковыми массами, они разлетаются под прямым углом (рис. 11).

Рассмотрим далее «лобовое» столкновение двух частиц. В результате такого столкновения обе частицы будут двигаться вдоль одной прямой, совпадающей с направлением скорости налетающей частицы. В этом случае мы можем заменить в законе сохранения импульса векторы скоростей их величинами, т. е. записать его в виде

Присоединив сюда закон сохранения энергии, согласно которому

можно выразить v[ и v'2 через vx. Разделив второе уравнение на первое, получим v'2 = vt -f- v[, и, следовательно,

Налетающая (первая) частица будет продолжать двигаться в том же направлении или же изменит свое направление на обратное, в зависимости от того, больше или меньше ее масса тг массы первоначально покоившейся частицы т2.

Если массы тх и т2 одинаковы, то v\ = О, v'%=vx, т. е. обе частицы как бы обмениваются своими скоростями. Если т^>тх, то v[ = — vx и v'2—0.

В общем случае столкновение удобно рассматривать в системе центра инерции сталкивающихся частиц. В этой системе суммарный импульс частиц как до, так и после столкновения равен нулю. Поэтому, если обозначить импульсы первой частицы до и после столкновения через р и р', то импульсы второй частицы до и после столкновения будут —р и —р'.

Далее, приравнивая суммы кинетических энергий частиц до и после столкновения, мы найдем, что должно быть рг = р'2, т. е. величина импульсов частиц остается неизменной. Таким образом, единственное, что происходит при столкновении,— это поворот импульсов частиц, изменение их направления без изменения величины. Вместе с импульсами таким же образом меняются скорости обеих частиц — они поворачиваются, не меняя величины и оставаясь взаимно противоположными, как это изображено на рис. 12 (индекс «нуль» у скоростей стоит для указания на то, что они относятся к системе центра инерции).

Что касается угла, на который происходит поворот скорости, то он не определяется одними только законами сохранения импульса и энергии и зависит от конкретного характера взаимодействия частиц и от их взаимного расположения при столкновении.

Для выяснения характера изменения скоростей в исходной или, как говорят, в лабораторной системе отсчета (в которой одна из частиц до столкновения покоилась) применим следующий графический прием. Построим вектор 01, равный скорости г>10 первой частицы в системе центра инерции (рис. 13). Эта скорость связана со скоростью vx той же частицы в лабораторной системе отсчета (являющейся в то же время относительной скоростью обеих частиц) равенством г>10 = ^ — V, где

есть скорость центра инерции. Произведя вычитание, получим формулу

Скорость первой частицы после столкновения v'l0 получается поворотом скорости vl0 на некоторый угол 6, т. е. может изображаться любым радиусом ОГ окружности, начер-. ченной на рис. 13. Для перехода к лабораторной системе отсчета нужно прибавить ко всем скоростям скорость центра инерции V. На рис. 13 она

изображается  вектором АО.

Вектор А1 совпадает тогда со скоростью vt налетающей частицы   до   столкновения, а

вектор А Г даст искомую скорость той же частицы после столкновения. Аналогичное построение можно сделать для скорости второй частицы.

На рис. 13 предполагается, что т1<.т2, так что точка А

лежит внутри окружности. При этом вектор АГ, т. е. скорость <v'lt может иметь любое направление.

Если же m1>m2, то точка А лежит вне окружности (рис. 14). В этом случае угол ф между скоростями частицы до и после столкновения (в лабораторной системе) не может превышать некоторого максимального значения, соответствующего случаю, когда прямая А Г касается окружности. При этом сторона АГ треугольника А ГО будет перпендикулярна стороне ОГ, так что

Заметим также, что скорость частицы после столкновения не может быть меньше некоторого минимального значения, достигаемого, когда точка /' на рис. 13 (или на рис. 14) диаметрально противоположна точке /. Этот случай соответствует лобовому столкновению частиц и минимальное значение скорости равно