§15. Момент импульса

Помимо энергии и импульса, для всякой замкнутой системы сохраняется еще одна векторная величина, называемая моментом импульса или просто моментом. Эта величина складывается из моментов отдельных материальных точек, которые определяются следующим образом.

Пусть материальная точка имеет импульс р, а ее положение относительно некоторого произвольного начала отсчета О определяется радиусом-вектором г. Тогда момент L этой материальной точки определяется как вектор, по величине равный

(где 6 — угол между р и г) и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через направления р и г. Последнее условие само по себе еще не определяет полностью направления L, так как остаются две возможности — «вверх» и «вниз». Принято определять это направление так: если представить себе винт, вращаемый по направлению от г к р, то винт будет перемещаться вдоль L (рис. 15).

Величину L можно представить ея;е и в другом, более наглядном виде, если заметить, что произведение г sin 6

есть длина hp перпендикуляра, опущенного из точки О на направление импульса частицы (рис. 16); это расстояние часто называют плечом импульса относительно точки О. Момент частицы равен произведению плеча на величину импульса

Приведенное определение вектора L как раз совпадает с известным из векторной алгебры понятием векторного

произведения: вектор L, составленный по указанным правилам из векторов г и р, называют векторным произведением гири записывают следующим образом:

или, поскольку p~mv,

Этой формулой определяется момент отдельной частицы. Моментом системы частиц называется сумма

моментов отдельных частиц. Такая сумма для любой замкнутой системы остается постоянной во времени. В этом и заключается закон сохранения момента.

Обратим внимание на то, что в определении момента фигурирует произвольно выбранное начало О, от которого отсчитываются радиусы-векторы частиц. Хотя величина и направление вектора L зависят от выбора этой точки, но легко видеть, что эта неопределенность несущественна для закона сохранения момента. Действительно, если мы сместим точку О на некоторое заданное (по величине и направлению) расстояние а, то на эту же величину изменятся все

радиусы-векторы частиц, так что к моменту прибавится величина

где Р— полный импульс системы. Но для замкнутой системы Р есть постоянная величина. Мы видим, следовательно, что изменение выбора начала координат не отражается на постоянстве полного момента замкнутой системы.

Обычно принято определять момент системы частиц, выбрав в качестве начала отсчета радиусов-векторов центр инерции системы. Именно такой выбор мы и будем подразумевать в дальнейшем.

Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем

Так как ~- есть скорость v частицы, a p=mv, то первый

член есть mlw] и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во

втором члене производная есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F. Таким образом,

Векторное произведение [rF] называют моментом силы (относительно заданной точки О); мы будем обозначать его посредством К:

Аналогично сказанному выше о моменте импульса можно сказать, что величина момента силы равна произведению величины силы F на ее «плечо» hF, т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из точки О на направление действия силы,

Таким образом, скорость изменения момента импульса материальной точки равна моменту действующей на нее силы:

Полный момент импульса замкнутой системы сохраняется; это значит, что производная по времени от суммы моментов, входящих в систему частиц, равна нулю:

Отсюда следует, что

Мы видим, что в замкнутой системе не только сумма действующих на все частицы сил (§ 7), но и сумма моментов сил равна нулю. Первое из этих утверждений эквивалентно закону сохранения импульса, а второе — закону сохранения момента импульса.

Существует глубокая связь между этими свойствами замкнутой системы и основными свойствами самого пространства.

Пространство однородно. Это значит, что свойства замкнутой системы не зависят от ее местоположения в пространстве. Представим себе, что система частиц испытывает бесконечно малое смещение в пространстве, при котором все частицы в ней перемещаются на одинаковое расстояние в одном и том же направлении; обозначим вектор этого смещения через dR. Над t'-й частицей при этом производится работа, равная F;dR. Сумма всех этих работ должна быть равна изменению потенциальной энергии системы; но независимость свойств системы от ее местоположения в пространстве означает, что это изменение равно нулю. Таким образом, должно быть

Поскольку это равенство должно иметь место при любом направлении вектора dR, то отсюда следует, что должна быть равна нулю сумма сил /71-г/г2+. . .

Мы видим, что происхождение закона сохранения импульса связано со свойством однородности пространства.

Аналогичная связь имеется между законом сохранения момента импульса и другим основным свойством пространства — его изотропией, т. е. эквивалентностью всех направлений в нем. В силу этой изотропии свойства замкнутой системы не изменятся при любом повороте системы как

целого, а потому должна быть равна нулю производимая при таком повороте работа. Можно показать, что из этого условия вытекает равенство нулю суммы моментов сил в замкнутой системе (мы вернемся еще к этому вопросу в § 28).