§ 16. Движение в центральном поле

Закон сохранения момента выполняется для замкнутой системы, а не для отдельных входящих в ее состав частиц. Но возможен случай, когда он выполняется для одной частицы, движущейся в силовом поле. Для этого необходимо, чтобы поле было центральным.

. Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния г до определенной точки — центра поля: U=U(r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния г и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.

Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы.

Согласно уравнению     = К отсюда следует, что L—const.

Поскольку момент L~m[rv] перпендикулярен направлению радиуса-вектора г, то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости — плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам — орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Закону сохранения момента импульса при таком «плоском» движении можно придать наглядную форму. Для этого запишем L в виде

где ds— вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведения двух векторов геометрически представляет собой, как известно, площадь построенного на них параллелограмма. Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и г, есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора О А А' (рис. 17), описанного радиусом-вектором движущейся точки за время dt. Обозначив эту площадь через ^.можно записать величину момента в виде

г-. dS Величина —п- называет-at

ся   секториальной ско ростью.

Таким образом, закон сохранения момента импульса можно сформулировать как постоянство секториальной скорости: радиус-вектор движущейся точки описывает за равные времена равные площади. В таком виде это утверждение называется вторым законом Кеплера.

Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек — так называемая задача двух тел.

Рассмотрим это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю:

где vlt v2—скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц

Из этих двух равенств легко получить формулы

выражающие скорости каждой из частиц через их относительную скорость:

Подставим эти формулы в выражение полной энергии частиц

где U(r) — взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния г (т. е. абсолютной величины вектора г=гг—г2). После простого приведения

членов получимгде m обозначает вели-

чину

называемую приведенной массой частиц.

Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой т дви-

dr

галась со скоростью v —       центральном внешнем поле с

потенциальной энергией U(r). Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле.

Если эта последняя задача решена (т. е. найдена траектория r~r(i) «приведенной» частицы), то можно непосредственно найти и реальные траектории двух частиц тг и т2 по формулам

связывающим радиусы-векторы частиц гх и г2 относительно их центра инерции с их 'взаимным расстоянием r=rt—г2 (эти формулы вытекают из соотношения m1r1+m2r2=0 и соответствуют приведенным выше аналогичным формулам

для скоростейJ . Отсюда  видно, что

обе частицы будут двигаться относительно центра инерции системы по геометрически подобным траекториям, отличающимся лишь своими размерами, обратно пропорциональными массам частиц:

В течение движения частицы всегда находятся на концах некоторой прямой, проходящей через центр инерции.