§ 20. Теорема Гаусса

Введем теперь важное понятие потока электрического поля. Для того чтобы придать ему наглядный характер, представим себе, что занимаемое полем пространство заполнено некоторой воображаемой жидкостью, скорость

которой в каждой точке пространства совпадает по величине с напряженностью электрического поля. Объем этой жидкости, проходящей через какую-либо поверхность в единицу времени, и представляет собой поток электрического поля через эту поверхность.

Определим поток электрического поля, создаваемого точечным зарядом е, через сферическую поверхность радиуса г с центром в этом заряде. Напряженность поля по закону Кулона равна в этом случае Е=е/г2. Поэтому скорость воображаемой жидкости также будет равна е/r2, поток же жидкости равен произведению ее скорости на величину 4лг2 поверхности сферы. Таким образом, поток поля равен

Мы видим, что этот поток не зависит от радиуса сферы, а определяется только зарядом. Можно показать, что если заменить сферу любой другой замкнутой поверхностью, окружающей заряд, то поток электрического поля через нее не изменится и также будет равняться 4ле. Подчеркнем, что это важное обстоятельство является специфическим следствием того факта, что в законе Кулона фигурирует обратная пропорциональность именно квадрату расстояния.

Рассмотрим теперь поток электрического поля, создаваемого не одним, а рядом зарядов. Этот поток можно определить, используя свойство суперпозиции электрического поля. Очевидно, поток поля через, произвольную замкнутую поверхность будет равен сумме потоков, происходящих от отдельных зарядов, находящихся внутри этой поверхности. Так как каждый такой поток равен заряду, умноженному на 4л, то общий поток электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри поверхности, умноженной на 4я. Это положение носит название теоремы Гаусса.

Если внутри поверхности нет зарядов, или если сумма зарядов равна нулю, то поток электрического поля через эту поверхность равен нулю.

Рассмотрим узкий пучок силовых линий, ограниченный поверхностью, которая также образована силовыми линиями (рис. 3). Пересечем такой пучок или, как мы будем говорить,  силовую  трубку  двумя эквипотенциальными

поверхностями / и 2 и определим поток поля через замкнутую поверхность, образованную боковой поверхностью силовой трубки и эквипотенциальными поверхностями / и 2. Если внутри этой замкнутой поверхности нет зарядов, то общий поток через нее будет равен нулю. С другой стороны поток через боковую поверхность трубки также, очевидно, равен нулю; поэтому потоки через поверхности / и 2 должны быть одинаковыми. Для наглядности наш пучок силовых линий можно уподобить струе жидкости.

Обозначим напряженности поля в сечениях / и 2 через Ех и £2 и площади самих сечений через Sx hS2. В силу предположения об узости силовой трубки поля Ег и Е2 можно считать постоянными вдоль каждого из сечений / и 2. Поэтому мы можем записать равенство потоков через поверхности / и 2 в виде

(так как поле перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, то поток равен просто произведению напряженности поля на площадь поверхности). Так как число силовых линий Nlt проходящих через сечение Su равно числу силовых линий N2, проходящих через сечение S2, то можно написать

Величины n1=/V1/S1 и n2=N2/S2 представляют собой числа силовых линий, приходящихся на единицы площади поверхностей / и 2, ортогональных силовым линиям. Мы видим, таким образом, что плотность или густота силовых линий пропорциональна напряженности поля:

Таким образом, графическое изображение поля с помощью силовых линий не только показывает направление

поля, но и позволяет судить о его величине. Там, где силовые линии лежат гуще, напряженность электрического поля больше; где силовые линии разрежены, там поле слабее.