§21. Электрические поля в простейших случаях

Теорема Гаусса дает возможность в ряде случаев находить поле, создаваемое сложными заряженными телами, если заряды в них расположены достаточно симметрично.

В качестве первого примера определим поле симметрично заряженного шара. Поле такого шара направлено по его радиусам и зависит только от расстояния до центра шара. Отсюда легко вычислить поле вне шара. Определим для этого поток поля через сферическую поверхность радиуса г, центр которой совпадает с центром заряженного шара. Этот поток равен, очевидно, 4лг2£. С другой стороны, по теореме Гаусса он равен 4яе, где е — заряд шара. Поэтому 4пг2Е=4пе, откуда

Таким образом, поле вне шара совпадает с полем точечного заряда, равного заряду шара и расположенного в центре шара. Соответственно этому и потенциал этого поля совпадает с потенциалом поля точечного заряда

Поле внутри шара зависит от того, как расположены заряды в шаре. Если заряды расположены только на поверхности шара, то поле внутри шара будет равно нулю.

Если заряд распределен равномерно по объему шара с плотностью р (р представляет собой заряд единицы объема шара), то поле внутри шара может быть найдено с помощью теоремы Гаусса, примененной к сферической поверхности радиуса г, лежащей внутри шара:

где ег—заряд, находящийся внутри сферической поверхности. Этот заряд равен произведению плотности заряда

на объем сферы радиуса г, т. е.Таким образом,

откуда

Мы видим, что поле внутри шара, равномерно заряженного по объему, пропорционально расстоянию от его центра, а вне шара — обратно пропорционально квадрату этого расстояния. На рис. 4 изображена зависимость поля такого шара от расстояния до центра (а обозначает радиус шара).

В качестве второго примера определим поле заряженной прямолинейной нити, вдоль которой заряды распределены равномерно. Предполагая длину нити достаточно большой, мы можем пренебречь влиянием ее концов, т. е. считать ее как бы бесконечно длинной. Из соображений симметрии ясно, что создаваемое такой нитью поле не может иметь составляющих в ту или другую сторону вдоль нити (поскольку обе эти стороны совершенно эквивалентны), т. е. должно быть направлено в каждой точке перпендикулярно нити. Пользуясь этим, легко определить поле нити. Рассмотрим для этого поток поля через поверхность цилиндра радиуса г и длины / с осью вдоль нити (рис. 5). Так как поле перпендикулярно оси, то поток через основания цилиндра будет равен нулю. Поэтому полный поток поля через рассматриваемую замкнутую поверхность сводится к потоку через боковую поверхность цилиндра. Он равен, очевидно, Е -2лг1. С другой стороны, по теореме Гаусса он равен 4ле, где е — заряд, находящийся на длине / нити; если обозначить через q заряд, приходящийся на единицу длины

нити, то e=ql. Таким образом, имеем  откуда

Мы видим, что поле, создаваемое равномерно заряженной нитью, обратно пропорционально расстоянию г от нее.

Определим потенциал этого поля. Поскольку поле Е направлено в каждой точке вдоль радиуса, то его радиальная проекция Ег совпадает с полной величиной Е. В силу общего соотношения между напряженностью и потенциалом имеем поэтому

откуда

Мы видим, что в данном случае потенциал зависит от расстояния до нити логарифмически. Для определения константы в этой формуле нельзя пользоваться условием обращения потенциала в нуль на бесконечности, так как написанное выражение обращается в бесконечность при r-voo. Это обстоятельство связано с предположением о бесконечной длине нити и означает, что полученной формулой можно пользоваться лишь для расстояний г, малых по сравнению с фактической длиной нити.

Найдем еще поле равно мерно заряженной неограниченной плоскости. Из соображений симметрии очевидно, что поле будет направлено перпендикулярно плоскости и будет иметь одинаковые значения (но противоположные направления) на одинаковых расстояниях по обе стороны от нее.

Рассмотрим поток поля через замкнутую поверхность прямоугольного параллелепипеда (рис. 6), две грани которого   параллельны   заряженной   плоскости, делящей

параллелепипед пополам (иа рисунке заштрихована часть этой плоскости, лежащая внутри параллелепипеда). Поток будет отличен от нуля только через эти грани. Поэтому согласно теореме Гаусса

где S— площадь грани, а о — заряд, приходящийся на единицу площади плоскости (поверхностная плотность заряда). Таким образом,

Мы видим, что поле бесконечной плоскости оказывается не зависящим от расстояния до этой плоскости. Другими словами, заряженная плоскость создает с каждой стороны от себя однородное электрическое поле. Потенциал равномерно заряженной плоскости является линейной функцией расстояния х от нее,