§ 22. Гравитационное поле

Наряду с электрическим взаимодействием чрезвычайно важную роль в природе играет гравитационное взаимодействие. Это взаимодействие присуще всем телам, независимо от того, являются они электрически заряженными или нейтральными, и определяется только массами тел. Гравитационное взаимодействие заключается в том, что все тела притягиваются друг к другу, причем сила этого взаимодействия пропорциональна произведению масс тел.

Если тела можно рассматривать как материальные точки, то сила гравитационного взаимодействия оказывается обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними и пропорциональной произведению их масс. Обозначая массы тел через ту и тг и расстояние между ними через г, можно записать гравитационную силу, действующую между ними, в виде

где С — универсальный коэффициент пропорциональности, не зависящий от природы взаимодействующих тел; знак минус указывает на то, что сила F является всегда силой

притяжения. Эта формула выражает закон тяготения Ньютона.

Величина G называется гравитационной постоянной. Очевидно, G представляет собой силу, с которой притягиваются друг к другу две материальные точки с массами в один грамм, находящиеся на расстоянии в один сантиметр. Гравитационная постоянная имеет размерность

и равна

Чрезвычайно малая величина G показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае очень больших масс. По этой причине гравитационное взаимодействие не играет никакой роли в механике атомов и молекул. С ростом массы роль гравитационного взаимодействия возрастает, и движение таких тел, как Луна, планеты, а также спутники, полностью определяется гравитационными силами.

Математическая формулировка закона тяготения Ньютона для материальных точек аналогична формулировке закона Кулона для точечных зарядов. Обе силы, как гравитационная, так и электрическая, обратно пропорциональны квадрату расстояния между материальными точками, причем роль массы в гравитационном взаимодействии играет заряд во взаимодействии электрическом. Однако в отличие от электрических сил, которые могут быть как силами притяжения, так и силами отталкивания, силы гравитационные всегда являются силами притяжения.

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона мы положили равным единице и этим определили выбор единицы заряда- Очевидно, можно было бы поступить аналогичным образом и с законом тяготения Ньютона. Именно, если положить равной единице гравитационную постоянную, то тем самым мы установили бы некоторую единицу для массы. Эта единица будет, очевидно, производной по отношению к единицам см и сек, и ее размерность по отношению к ним будет -—р. Новая единица массы представляет

собой такую массу, которая сообщает равной ей массе, находящейся от нее на расстоянии 1 см, ускорение в 1 см/сек2. Обозначая эту единицу массы через р, мы можем написать

откуда р=1,5-107 г—15 тонн. Ясно, что эта новая единица неудобна и поэтому ею не пользуются. Однако мы видим, что, в принципе, можно построить систему единиц, в которой единственными произвольными единицами будут только единицы длины и времени, для всех же остальных величин, включая и массу, могут быть построены производные единицы. Такая система единиц на практике не применяется, но возможность ее построения лишний раз указывает на условность системы СГС.

Имея выражение для силы гравитационного взаимодействия между двумя материальными частицами, легко найти их потенциальную энергию U. Действительно, написав общее соотношение

связывающее   U и F, найдем

причем мы положили произвольную постоянную в U равной нулю, чтобы потенциальная энергия обращалась в нуль при бесконечно большом расстоянии между частицами. Эта формула аналогична формуле

для потенциальной энергии электрического взаимодействия.

Мы написали формулы для силы и потенциальной энергии гравитационного взаимодействия двух материальных точек. Но эти же формулы справедливы для сил тяготения между любыми двумя телами, если только расстояние между ними велико по сравнению с размерами тел. Для тел же сферической формы формулы справедливы при любых расстояниях между телами (в этом случае г обозначает расстояние между центрами сфер).

Пропорциональность действующей на частицу силы тяготения массе этой частицы дает возможность ввести понятие о напряженности гравитационного поля (или поля тяготения) подобно тому, как это было сделано для электрического поля. Именно, действующую на частицу с массой т силу F представим в виде

где напряженность поля gecn величина, зависящая только от масс и расположения тел, создающих поле.

Так как гравитационное поле подчиняется закону Ньютона, математически аналогичному закону Кулона для поля электрического, то для гравитационного поля также справедлива теорема Гаусса. Разница будет заключаться только в том, что вместо заряда в теореме Гаусса будет фигурировать теперь произведение массы на гравитационную постоянную. Таким образом, поток гравитационного поля через замкнутую поверхность равен —4nmG, где т— сумма всех масс, находящихся внутри этой поверхности; знак минус связан с притягивательным характером сил тяготения.

Пользуясь этой теоремой, можно, например, определить напряженность гравитационного поля внутри однородного шара. Эта задача в точности соответствует рассмотренной в § 21 задаче об однородно заряженном шаре. Воспользовавшись полученным там результатом, мы можем сразу написать

где теперь р— плотность массы шара.

Силу тяготения, действующую на тело вблизи земной поверхности, называют весом тела Р. Расстояние от тела до центра Земли есть R+z, где R— радиус Земли, a z— высота тела над ее поверхностью. Если высота г очень мала по сравнению с R, то ею можно пренебречь, и тогда вес тела

где М — масса Земли.

Если представить эту формулу в виде

то

Постоянную величину g называют в этом случае ускорением силы тяжести. Это есть ускорение свободного падения тела в поле тяготения Земли.

На высотах г, на которых силу тяжести можно считать постоянной, потенциальная энергия тела выражается следующей формулой:

Это видно из полученной в § 10 общей формулы для потенциальной энергии в однородном поле, если учесть также, что в данном случае сила направлена вниз, т. е. в сторону уменьшения г.

Ускорение силы тяжести g в действительности неодинаково в разных точках земной поверхности, так как последняя не имеет точно сферической формы. Кроме того, следует иметь в виду, что благодаря вращению Земли вокруг своей оси возникает центробежная сила, которая действует в сторону, противоположную силе притяжения. Поэтому следует ввести эффективное ускорение силы тяжести, которое меньше ускорения силы тяжести на гипотетической покоящейся Земле. Это ускорение равно на земных полюсах

g = 983,2        а на экваторе g = 978,0 ^ .

Иногда значение g фигурирует в определении единиц измерения физических величин (например, силы и работы). Для этих целей условно пользуются стандартным значением

очень близким к ускорению силы тяжести на широте 45°.