§ 24. Кеплерово движение

Рассмотрим движение двух тел, притягивающихся друг к другу по закону тяготения Ньютона. Предположим сперва, что масса одного из тел М значительно больше массы другого тела т. Если расстояние г между телами велико по сравнению с размерами тел, то мы имеем дело с задачей о движении материальной точки т в центральном гравитационном поле, создаваемом телом М, которое можно считать неподвижным.

Простейшим движением в таком поле является равномерное движение по окружности с центром в центре поля (т. е. в центре тела /И). Ускорение при этом направлено к центру окружности и равно, как мы знаем, v2/r, где v— скорость точки т. Умноженное на массу т, оно должно быть равно силе, действующей на частицу со стороны тела М:

откуда

Пользуясь этой формулой, можно, в частности, определить скорость земного спутника, движущегося в непосредственной близости от земной поверхности. Заменяя в этом

случае г на радиус Земли R и вспоминая, что ^ представляет собой ускорение силы тяжести g, получим следующее выражение для скорости спутника или так называемой первой космической скорости:

Подставляя  сюда   g « 980       , R = 6500   км, найдем

8

км —. сек

Полученная формула для v позволяет установить соотношение между радиусом орбиты г и периодом обращения по ней Т. Полагая

найдем

Мы видим, что квадраты периодов обращения пропорциональны кубам радиусов орбит. Это соотношение называется третьим законом Кеплера, по имени астронома И. Кеплера, открывшего эмпирически в начале XVII столетия по наблюдениям движения планет основные законы движения двух тел под влиянием гравитационного взаимодействия (такое движение называют кеплеровым). Эти законы (второй закон, устанавливающий постоянство секториальной скорости при движении в центральном поле, был рассмотрен в § 16) сыграли важную роль в открытии Ньютоном закона всемирного тяготения.

Определим теперь энергию частицы т. Ее потенциальная энергия равна, как мы знаем,

Прибавив к и кинетическую энергию —g—, найдем полную энергию частицы

не меняющуюся с течением времени. При движении по окружности

и поэтому

Мы видим, что при движении по окружности полная энергия частицы отрицательна. Это находится в соответствии о результатами § 13, согласно которым, если потенциальная энергия на бесконечности обращается в нуль, то движение будет финитным при Е<$) и инфинитным при Е^О.

Мы рассмотрели простейшее круговое движение, происходящее под действием силы притяжения

Однако в таком поле движение частицы может совершаться не только по окружностям, но также по эллипсам, гиперболам и параболам. Для всех этих конических сечений один из фокусов (для параболы — единственный) находится в центре сил (в этом заключается первый закон Кеплера). Эллиптическим орбитам соответствуют, очевидно, отрицательные значения полной энергии частицы Е<С0 (так как движение финитно). Гиперболическим орбитам с уходящими в бесконечность ветвями соответствуют положительные значения полной энергии £*>0 и, наконец, при движении по параболе Е=0. Это значит, что при движении по параболе скорость частицы на бесконечности равна нулю.

Используя формулу для полной энергии частицы, легко найти ту минимальную скорость, которую нужно сообщить спутнику, чтобы он двигался по параболической орбите, т. е. ушел из сферы земного притяжения. Полагая r=R в формуле

и приравнивая Е нулю, найдем эту скорость, которая называется второй космической скоростью,

Сравнение с формулой для первой космической скорости показывает, что

Разъясним теперь, чем определяются параметры эллиптических орбит. Радиус круговой орбиты можно выразить через энергию частицы:

где введено обозначение a=GmM. При движении частицы

по эллипсу такой же формулой определяется большая полуось эллипса а,

Малая же полуось эллипса Ъ зависит не только от энергии, но и от момента L,

Чем меньше момент L, тем больше (при заданной энергии) вытянут эллипс.

Период обращения по эллипсу зависит только от энергии и выражается через большую полуось эллипса;

До сих пор мы рассматривали случай, когда масса одного из тел М значительно больше массы другого тела т, и считали поэтому тело М неподвижным. В действительности, конечно, движутся оба тела, причем в системе центра инерции оба они описывают геометрически подобные траектории — конические сечения с общим фокусом в центре инерции. На рис. 7 изображены такие геометрически подобные эллипсы, размеры которых обратно пропорциональны массам тел. Написанные выше выражения для полуосей а и Ъ относятся при этом к траектории «приведенной» частицы, следует лишь заменить в них т на

сохранив прежнее значение a=GmM.