§ 25. Виды движения твердого тела

До сих пор мы изучали движения тел, которые можно было рассматривать в данных условиях как материальные точки. Теперь перейдем к изучению таких движений, при которых существенна конечная протяженность тел. При этом мы будем считать тела твердыми. Под твердым понимается в механике такое тело, взаимное расположение частей которого остается неизменным во время движения. Такое тело выступает при движении как единое целое.

Простейшим движением твердого тела является движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. Такое движение называется поступательным. Если, например, плавно двигать компас в горизонтальной плоскости, то его стрелка, сохраняя постоянное направление с юга на север, будет совершать при этом поступательное движение.

При поступательном движении твердого тела все его точки имеют одинаковую скорость и описывают траектории одинаковой формы, только смещенные по отношению друг к другу.

Другим простейшим видом движения твердого тела является вращение тела вокруг оси. При вращении различные точки тела описывают окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Если за время dt тело поворачивается на угол dq>, то путь ds, проходимый за это время какой-либо точкой Р тела, будет равен, очевидно, ds=rd<p, где г — расстояние от точки Р до оси вращения. Разделив ds на dt, найдем скорость точки Р:

Величина ^ одинакова для всех точек тела и представляет собой угловое перемещение тела за единицу времени. Эта величина называется угловой скоростью тела; мы будем обозначать ее буквой Q.

Таким образом, скорости различных точек вращающегося вокруг некоторой оси твердого тела определяются формулой

где г— расстояние точки до оси вращения; скорость пропорциональна этому расстоянию.

Величина Q, вообще говоря, меняется с течением времени. Если вращение происходит равномерно, т. е. с постоянной угловой скоростью, то Q можно определить, зная период вращения Т\

Вращение характеризуется направлением оси вращения и величиной угловой скорости. Их можно объединить вместе, введя вектор угловой скорости fl, имеющий направление оси вращения и равный по величине угловой скорости. Из двух направлений оси вращения вектору угловой скорости принято приписывать то, которое связано с направлением вращения так называемым правилом винта, т. е. то направление, в котором ввинчивается винт (с правой резьбой), вращающийся одинаково с твердым телом.

Рассмотренные простейшие виды движения твердого тела — поступательное движение и вращение — особенно важны потому, что любое движение твердого тела сводится к ним.

Разъясним это.на примере тела, движущегося параллельно некоторой плоскости. Рассмотрим два последовательных положения тела Ах и Л2 (рис. 1). Из положения Ах в положение Л2 тело можно перевести, очевидно, следующим образом. Переведем сперва тело из положения Ах параллельным переносом в положение А' так, чтобы в результате переноса какая-либо точка О тела попала в свое конечное положение. Если затем повернуть тело вокруг точки О на определенный угол ф, то оно перейдет в конечное положение Ла.

Мы видим, что общее перемещение тела складывается из поступательного движения, переводящего тело из положения Аг в положение А', и вращения вокруг точки О, окончательно переводящего тело в положение Л2. Очевидно, точка О является при этом совершенно произвольной: можно с равным успехом произвести параллельный перенос тела из положения Ах в положение А", при котором какая-либо другая точка О', а не точка О, попадает в свое конечное положение, а затем сделать поворот вокруг точки О', переводящий окончательно тело в положение А2. Существенно, что при этом угол поворота будет в точности таким же, как и при повороте вокруг точки О; длина же пути поступательного перемещения точек О и О', вообще говоря, различна.

Рассмотренный пример показывает — и это является в действительности общим правилом,— что произвольное движение твердого тела можно представить в виде совокупности поступательного движения всего тела со скоростью какой-либо его точки О и вращения вокруг оси, проходящей через эту точку. При этом поступательная скорость (которую мы обозначим через V) зависит от того, какая именно точка тела выбрана в качестве основной. Угловая же скорость Q от этого выбора не зависит: при любом выборе точки О проходящая через нее ось вращения будет иметь одинаковое направление и будет одинаковой величина угловой скорости Q. В этом смысле можно сказать, что угловая скорость Q имеет «абсолютный» характер,— можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая при этом, через какую именно его точку проходит ось вращения. Поступательная же скорость такого «абсолютного» характера не имеет.

Обычно в качестве «основной» точки О выбирают центр инерции тела. Поступательная скорость V есть при этом скорость перемещения центра инерции. Преимущества такого выбора выяснятся в следующем параграфе.

Каждый из векторов V и Q задается значениями своих трех компонент (относительно некоторой системы координат). Поэтому всего нужно задать шесть независимых величин для того, чтобы знать скорость любой точки твердого тела. На этом основании говорят, что твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы.