§ 26. Энергия движущегося твердого тела

Кинетическая энергия поступательно движущегося твердого тела определяется очень просто. Так как все точки тела при таком движении имеют одинаковую скорость, то кинетическая энергия равна просто

где V—скорость тела, а М — его полная масса. Это выражение — такое же, как если бы со скоростью V двигалась одна материальная точка массы М. Ясно, что поступательное движение твердого тела вообще ничем существенным не отличается от движения материальной точки.

Определим теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Для этого разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки. Если т,-есть масса г'-го элемента, а г,-— его расстояние до оси вращения, то его скорость равна u,=r,-Q, где Q — угловая скорость вращения тела. Кинетическая энергия этого элемента

равна тр] и, просуммировав эти энергии, получим полную кинетическую энергию тела

Стоящая здесь в скобках сумма зависит от того, с каким именно твердым телом мы имеем дело (от его формы, размеров и распределения масс в нем), а также от того, как расположена в нем ось вращения. Эта величина, характеризующая твердое тело и выбранную ось вращения, называется моментом инерции тела относительно данной оси.

Обозначим его буквой /:

Если твердое тело — сплошное, то его нужно разделить на бесконечно большое количество бесконечно малых частей; суммирование в написанной формуле заменяется тогда интегрированием. Укажем для примера, что момент инерции сплошного шара (с массой М и радиусом R) относн-

тельно оси, проходящей через его центр, равен /= -g- MR2;

момент инерции тонкого стержня (длины /) относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его середину, равен

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть написана в виде

Это выражение формально похоже на выражение для энергии поступательного движения, отличаясь от него тем, что вместо скорости V стоит угловая скорость Q, а вместо массы — момент инерции. Здесь мы имеем первый пример того, что при вращении момент инерции играет роль, аналогичную массе при поступательном движении.

Кинетическую энергию произвольно движущегося твердого тела можно представить в виде суммы поступательной и вращательной энергий, если в описанном в предыдущем параграфе способе разделения двух движений выбрать основную точку О в центре инерции тела. Тогда вращательное движение будет представлять собой движение точек тела относительно его центра инерции, и мы имеем полную аналогию с рассмотренным в § 12 разделением движения системы частиц на движение системы как целого и «внутреннее» движение частиц относительно центра инерции. Мы видели там, что на соответствующие две части разбивается и энергия системы. Роль «внутреннего» движения играет теперь вращение тела вокруг центра инерции. Поэтому для кинетической энергии произвольного движущегося тела имеем

Индекс «О» у момента инерции означает, что он берется относительно оси, проходящей через центр инерции.

[Следует отметить, однако, что в таком виде эта формула имеет реальный практический смысл лишь, если в процессе движения ось вращения сохраняет постоянное направление в теле. В противном случае момент инерции должен браться в разные моменты времени относительно различных осей, т. е. перестает быть постоянной величиной].

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси Z, не проходящей через центр инерции. Кинетическая энергия этого движения естьгде /—

момент инерции относительно оси Z. С другой стороны, можно рассматривать это же движение как совокупность поступательного движения со скоростью V центра инерции и вращения (с той же угловой скоростью Q) вокруг оси, проходящей через центр инерции параллельно оси Z. Если а есть расстояние центра инерции от оси Z, то его скорость V—aQ. Поэтому кинетическую энергию тела можно представить также и в виде

Сравнивая оба выражения, найдем

Эта формула связывает момент инерции тела относительно какой-либо оси с моментом инерции относительно другой оси, параллельной первой и проходящей через центр инерции. Очевидно, что / всегда больше, чем /„. Другими словами, при заданном направлении оси минимальное значение момента инерции достигается для оси, проходящей через центр инерции.

Если твердое тело движется в поле тяжести, то его полная энергия Е равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Рассмотрим в качестве примера движение шара по наклонной плоскости (рис. 2). Потенциальная энергия шара равна Mgz, где М — масса шара, a z— высота его центра. Поэтому закон сохранения энергии имеет вид

Будем предполагать, что шар скатывается без скольжения. Тогда скорость v точки его соприкосновения с наклонной плоскостью будет равна нулю. С другой стороны, эта скорость складывается из скорости V поступательного перемещения вниз по плоскости вместе с шаром в целом и направленной в обратную сторону (вверх по плоскости) скорости точки в ее вращении вокруг центра шара. Последняя скорость равна QR, где R— радиус шара. Из равенства v—V—Q/?=0 имеем

Подставив это выражение в закон сохранения энергии и считая, что в начальный момент времени скорость шара равна нулю, найдем скорость центра инерции шара в момент, когда он спустился на расстояние п:

Эта скорость, как и следовало ожидать, меньше скорости свободного падения материальной точки или не вращающе* гося тела (с той же высоты И), так как уменьшение потенциальной энергии Mgh идет не только на увеличение кинетической энергии поступательного движения, но и на увеличение кинетической энергии вращения шара.