§ 27. Вращательный момент

При вращательном движении тела момент его импульса играет роль, аналогичную роли импульса при движении •материальной точки. В простейшем случае тела, вращающегося вокруг закрепленной оси, такую роль играет составляющая момента'вдоль этой оси (назовем ее осью Z).

Для вычисления этой величины разобьем тело, как и при вычислении кинетической энергии, на отдельные элементарные части. Момент импульса отдельного (t-ro) элемента

есть mf [/?,©,■], где /?,•— радиус-вектор этого элемента, отсчитываемый от некоторой точки О на оси Z, по отношению к которой определяется момент (рис. 3). Поскольку каждая точка тела движется вокруг оси вращения по окружности, то скорость V; касательна к этой окружности.

Разложим вектор /?,- на два вектора, из которых один направлен вдоль оси, а другой (г,-) — перпендикулярен ей. Тогда произведение т,-[/•,»,] даст как раз ту часть момента импульса, которая направлена параллельно оси Z (напомним, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, проходящей через эти векторы). Так как векторы г,- и г»,- взаимно перпендикулярны (радиус окружности и касательная к ней), то величина произведения 1г,г»,-] есть просто r-v(, где г,- — расстояние элемента т,- от оси вращения. Наконец, поскольку v~Q.rh то мы приходим к выводу, что составляющая момента импульса элемента т; вдоль оси вращения равна m,r}Q. Образовав сумму

мы и получим искомую проекцию Lz полного момента импульса тела на ось Z. Эту величину называют также моментом импульса (или вращательным моментом) тела относительно данной оси.

Вынеся в написанной сумме общий множитель Q за скобку, мы получим в скобках сумму, как раз совпадающую с выражением для момента инерции /. Таким образом, получим окончательно

т. е. вращательный момент тела равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно оси вращения. Обратим внимание на аналогию между этим выражением и выражением mv для импульса частицы: вместо скорости v стоит угловая скорость, а роль массы снова играет момент инерции.

Если на тело не действуют внешние силы, вращательный момент тела остается постоянным: тело вращается «по инерции» с постоянной угловой скоростью Q. Постоянство Q следует при этом из постоянства Lz в силу подразумевающейся нами неизменности самого тела при вращении, т. е. неизменности его момента инерции. Если же взаимное расположение частей тела (а тем самым и его момент инерции) меняется, то при свободном вращении будет меняться и угловая скорость так, чтобы произведение IQ оставалось постоянным. Если, например, на вращающейся с малым трением скамейке находится человек с гирями в руках, то, раздвигая руки, он тем самым увеличит свой момент инерции; сохранение произведения IQ приведет при этом к уменьшению угловой скорости его вращения.