§ 30. Гироскоп

В § 27 мы нашли проекцию Lz момента импульса тела на ось вращения. Для тела, вращающегося вокруг закрепленной оси, существенна только эта проекция вектора L. Простая зависимость ее от угловой скорости вращения (Lz= IQ) приводит к тому, что и все движение имеет простой характер.

Если же ось вращения не закреплена, то необходимо рассматривать весь вектор L в его зависимости от вектора угловой скорости Й. Эта зависимость, однако, имеет более сложный характер: компоненты вектора Lявляются линейными функциями компонент Й, но направления этих векторов, вообще говоря, различны. Это обстоятельство существенно усложняет в общем случае характер движения тела.

Мы рассмотрим здесь лишь один пример движения тела со свободно ориентирующейся осью вращения — так называемый гироскоп, т. е. осесимметричное тело, быстро вращающееся вокруг своей геометрической оси.

При таком вращении вектор момента L тоже (как и вектор угловой скорости Q) будет направлен вдоль оси тела. Это очевидно уже без вычисления, просто из соображений симметрии:' в силу осесимметричности движения нет никакого другого избранного направления, куда мог бы быть направлен вектор L.

До тех пор, пока на гироскоп не действуют никакие внешние силы, его ось будет сохранять свое направление в пространстве: в силу закона сохранения момента направление (как и величина) вектора L остается неизменной. Если же приложить к гироскопу внешние силы, его ось начнет отклоняться. Именно это движение оси гироскопа нас и будет интересовать; его называют прецессией.

Изменение направления оси гироскопа представляет собой его вращение относительно некоторой другой оси, так

что вектор суммарной угловой скорости уже не будет направлен вдоль геометрической оси тела. Вместе с ним не будет уже совпадать с той же осью (а также и с направлением 12) и вектор момента L. Однако, если основное вращение гироскопа достаточно быстро, а внешние силы не слишком велики, скорость поворачивания оси гироскопа будет относительно мала и вектор Q, а с ним и L будут все время близки по направлению к оси гироскопа. Поэтому, зная, как изменяется вектор L, мы тем самым будем знать, как приблизительно движется ось гироскопа. Изменение же момента определяется уравнением

где К — момент приложенных к телу сил.

Пусть, например, к кон цам оси гироскопа (ось z на

рис. 6) прикладывается пара сил F, действующих в плоскости yz. Тогда момент К пары направлен вдоль оси х и в эту же сторону будет направлена производная dL/dt. Другими словами, момент L, а с ним и ось гироскопа отклонятся в сторону оси х.

Таким образом, приложение к гироскопу некоторой силы вызывает поворачивание его оси в направлении, перпендикулярном направлению силы.

Пример гироскопа представляет собой волчок, опертый в одной своей нижней точке. [Трением волчка об опору в следующих ниже рассуждениях мы пренебрегаем]. Волчок находится под действием силы тяжести, имеющей постоянное направление — вертикально вниз. Эта сила равна весу волчка P=Mg (М — масса тела) и приложена к его центру тяжести (точка С на рис. 7). Ее момент относительно точки опоры О по величине равен 7<"=P/sin 9 (/— расстояние ОС; 6 — угол между осью волчка и вертикалью) и направлен всегда перпендикулярно плоскости, проходящей через ось волчка и вертикальное направление. Под действием этого момента вектор L (а тем самым и ось волчка) будет

поворачиваться, оставаясь постоянным по величине и сохраняя постоянный угол 0 с вертикалью, т. е. описывая конус вокруг этого направления.

Легко определить угловую скорость прецессии волчка. Обозначим ее через <о в отличие от угловой скорости собственного вращения волчка вокруг своей оси, которую обозначим через й0.

За бесконечно малый промежуток времени dt вектор L получает перпендикулярное себе приращение dL = К dt, лежащее в горизонтальной плоскости. Разделив его на величину проекции вектора L на эту плоскость, мы получим угол йф, на который эта проекция повернется за время dt:

Производная d<p/dt есть, очевидно, искомая угловая скорость прецессии. Таким образом,

Подставив сюда K=Mgl sin G и L=IQ0 (где / — момент инерции волчка относительно его оси), получим окончательно

Напомним, что вращение волчка предполагается достаточно быстрым. Мы можем теперь уточнить это условие: должно быть Q0^xo. Поскольку

то мы видим, что указанное условие означает, что потенциальная энергия волчка в поле тяжести (Mgl cos 9) должна быть мала по сравнению с его кинетической энергией

(72 ^2)-