§ 32. Гармонические колебания

Мы видели в § 13, что одномерное движение, совершаемое частицей в потенциальной яме, является периодическим, т. е. повторяется через равные промежутки времени. Такой промежуток времени, по истечении которого движение повторяется, называется периодом движения. Если Т — период движения, то в моменты времени t и t+T частица имеет одно и то же положение и одну и ту же скорость.

Величина, обратная периоду, называется частотой. Частота, которую мы будем обозначать через v,

определяет, сколько раз в секунду повторяется движение. Эта величина имеет, очевидно, размерность ]/сек. Единица измерения частоты, соответствующая периоду, равному 1 сек, называется герцем (гц): 1 гц=1 сек'1.

Существует, очевидно, бесчисленное множество различных видов периодического движения. Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции синус и косинус. Поэтому простейшим периодическим движением будет такое движение, при котором координаты материальной точки изменяются по закону

где А, со, а—некоторые постоянные величины. Такое периодическое движение называется гармоническим колебательным движением.

Величины Л и со имеют простой физический смысл. Так как период косинуса равен 2я, то период движения Т

связан с со соотношением

Отсюда видно, что to отличается множителем 2л от частоты v:

Величину <а называют циклической (круговой) частотой; в физике пользуются обычно для характеристики колебаний именно этой величиной и часто говорят о ней просто как о частоте.

Так как максимальное значение косинуса равно единице, то максимальное значение координаты х равно А. Это максимальное значение называется амплитудой колебания. Величина х изменяется в пределах от —А до А.

Аргумент косинуса (x>t-\-a носит название фазы колебания; а есть начальная фаза (в момент ^=0).

Скорость частицы равна

Мы видим, что скорость тоже изменяется по гармоническому закону, но только вместо косинуса сюда входит синус. Написав это выражение в виде

мы можем сказать, что изменение скорости «опережает

по фазе» изменение координаты на величину ^. Амплитуда

же скорости равна произведению амплитуды смещения на частоту со.

Выясним теперь, какова должна быть сила, действующая на частицу, для того, чтобы она совершала гармонические колебания. Найдем для этого ускорение частицы при таком движении:

Эта величина изменяется по такому же закону, что и координата частицы, но отличается от нее по фазе на я. Умножив w на массу частицы т и замечая, что A cos (со t-\-a)=x,

получим следующее выражение для силы:

Таким образом, для того чтобы частица совершала гармонические колебания, действующая на нее сила должна быть пропорциональна величине смещения частицы и направлена в сторону, противоположную этому смещению. Простой пример: сила, действующая на тело со стороны растянутой (или сжатой) пружины, пропорциональна ее удлинению (или укорочению) и всегда направлена так, что пружина стремится принять свою нормальную длину. Такую силу называют восстанавливающей.

Зависимость силы от положения частицы, имеющая описанный характер, встречается в физических задачах очень часто. Если какое-либо тело находится в положении устойчивого равновесия (пусть это будет точка х=0) и мы немного сместим его из этого положения в ту или другую сторону, то возникнет сила F, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. Как функция положения тела х сила F=F(x) изобразится некоторой кривой, пересекающей начало координат: в точке х=0 сила F=0, а по обе стороны от этой точки она имеет противоположные знаки. В небольшом интервале значений х эта кривая может быть приближенно представлена в виде отрезка прямой линий, так что сила оказывается пропорциональной величине отклонения х. Таким образом, если тело испытало небольшое отклонение от положения равновесия, после чего предоставлено самому себе, то при его возвращении в положение равновесия возникнут гармонические колебания.

Движения, при которых тело мало смещается относительно положения равновесия, называются малыми колебаниями. Мы видим, что малые колебания являются гармоническими. Частота этих колебаний определяется жесткостью закрепления тела, характеризующей связь между силой и смещением. Если сила связана со смещением соотношением

где k— некоторый коэффициент, называемый жесткостью, то из сравнения этого выражения с выражением для силы при гармоническом колебательном движении F——тиРх

4*

следует, что частота колебаний равна

Подчеркнем то обстоятельство, что частота оказывается зависящей только от свойств колеблющейся системы (жесткости закрепления тела и от его массы), но не от амплитуды колебаний. Одно и то же тело, производя колебания с разным размахом, совершает их с одинаковой частотой. Это — очень важное свойство малых колебаний. Напротив, амплитуда колебаний определяется не свойствами самой системы, а начальными условиями ее движения, т. е. начальным «толчком», выводящим систему из состояния покоя. Колебания системы, возникающие в результате начального толчка, после которого система предоставляется самой себе, называют собственными колебаниями.

Потенциальную энергию колеблющейся частицы легко найти, заметив, что

Отсюда

Выбрав постоянную так, чтобы потенциальная энергия была равна нулю в положении равновесия (х=0), получим окончательно

т. е. потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения частицы.

Складывая потенциальную энергию с кинетической, найдем полную энергию колеблющейся частицы

пли

Таким образом, полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Обратим внимание на то, что

кинетическая и потенциальная энергии изменяются как sin2(co/+a) и cos2(co/+a), так что когда одна из них увеличивается, другая — уменьшается. Другими словами, процесс колебаний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Средние (за период колебания) значения потенциальной и кинетической энергии одинаковы и каждое из них равно Е/2.