§ 33. Маятник

В качестве примера малых колебаний рассмотрим колебания математического маятника — материальной точки, подвешенной на нити в поле тяжести Земли.

Отклоним маятник из положения равновесия на некоторый угол ср и определим действующую при этом на маятник силу. Общая сила, действующая на маятник, равна mg, где m — масса маятника и g — ускорение силы тяжести. Эту силу мы разложим на две составляющие (рис. 1): одну вдоль нити и другую —■ перпендикулярную нити. Первая составляющая компенсируется натяжением нити, а вторая вызывает движение маятника. Эта составляющая равна, очевидно,

В случае малых колебаний угол ср мал. При  этом  sin ср   приближенно равен самому  углу  ср,  так что       —mgcp. Замечая, что /ср (где /—длина маятника) представляет собой путь л-, пройденный материальной точкой, запишем F в виде

Отсюда видно, что коэффициент жесткости в случае малых колебаний маятника k=mg/l. Поэтому частота колебаний маятника будет

Период колебаний маятника равен

Отметим, что длина маятника с периодом Т—1 сек (для стандартного значения ускорения силы тяжести, см. стр. 70) равна /=24,8 см.

Зависимость периода маятника от его длины и ускорения силы тяжести может быть просто определена и из соображений размерности. В нашем распоряжении имеются характеризующие данную механическую систему величины m, I, g с размерностями

[т] = г, [/] = см, [g] = см/сек2.

Только от этих величин и может зависеть период Т. Поскольку из всех этих величин размерность г содержит только т, а размерность искомой величины {Т]=сек не содержит г, то ясно, что Т вообще не может зависеть от т. Из двух оставшихся величин I и g можно исключить размерность см (не содержащуюся в Т), образовав отношение l/g. Наконец, извлекая корень ]/l/g, мы получим величину размерности сек, причем из изложенных рассуждений ясно, что это есть единственный способ образовать такую величину. Поэтому мы можем утверждать, что период Т должен быть пропорционален У l/g; численный же коэффициент пропорциональности этим способом определить, конечно, нельзя.

Мы до сих пор говорили о малых колебаниях, как о колебаниях одной материальной точки. Но полученные нами результаты относятся в действительности и к колебаниям более сложных систем.

В качестве примера рассмотрим колебания твердого тела, могущего вращаться вокруг горизонтальной оси под влиянием силы тяжести. Такое тело называют физическим маятником.

Мы видели в § 28, что законы движения вращающегося тела формально не отличаются от законов движения материальной точки, причем роль координаты х играет угол поворота тела ср, роль массы — момент инерции тела / (относительно оси вращения), а вместо силы F надо говорить о моменте силы Kz-

В данном случае момент сил тяжести относительно оси вращения равен Kz——mga sin <р, где т— масса тела, а — расстояние его центра тяжести С от оси вращения (она проходит через точку О перпендикулярно плоскости рис. 2), Ф— угол отклонения линии ОС от вертикали; знак минус

выражает тот факт, что момент Kz стремится уменьшить угол ф. При малых колебаниях угол ф мал, так что Kz^

—mga ф. Сравнивая это выражение с выражением для восстанавливающей силы F~—kx при колебаниях материальной точки, мы видим, что роль коэффициента жесткости k играет теперь величина mga. Таким образом, по аналогии с формулой ы=ущп\ можно написать следующее выражение для частоты колебаний физического маятника:

Сравнив это выражение с формулой для частоты колебаний математического маятника (со= Vgll), мы видим, что свойства движения физического маятника совпадают со свойствами движения математического маятника с длиной

Ее называют приведенной длиной физического маятника.

Написав /=/0+та2 (где /0— момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести), представим приведенную длину в виде

Из этого выражения можно сделать следующее интересное заключение. Отложим на прямой ОС (рис. 2) отрезок 00'=1. Представим себе теперь, что маятник подвешивается за ось, проходящую через точку О'. Приведенная длина полученного таким образом нового маятника будет равна

Но a'=l—a=IJma, поэтому V—1. Таким образом, приведенные длины, а потому и периоды колебаний маятников, подвешенных на осях, находящихся на расстоянии / друг от друга, одинаковы.

Рассмотрим, наконец, крутильные колебания диска, подвешенного на упругой нити (рис. 3). Момент сил упругости, возникающих при закручивании нити и стремящихся вернуть диск в исходное положение, пропорционален углу ф поворота диска: К?=—кц>, где k— постоянный коэффициент, зависящий от свойств нити. Если момент инерции диска (относительно его центра) равен /0, то частота колебаний